Perpendicularidad de los ejes.
Al proseguir con la consideración que demuestra la superioridad del sistema ordinario de coordenadas sobre cualquier otro en cuanto a la representación de ecuaciones, podemos observar también la utilidad para este propósito del uso común de tomar los dos ejes perpendiculares entre sí, siempre que sea posible, en lugar de con cualquier otra inclinación.
En lo que respecta a la representación de líneas mediante ecuaciones, esta circunstancia secundaria no es más universalmente adecuada de lo que hemos visto que es la naturaleza general del sistema; ya que, según la ocasión particular, cualquier otra inclinación de los ejes puede merecer nuestra preferencia a ese respecto. Pero, desde el punto de vista inverso, es fácil ver que los ejes rectangulares nos permiten constantemente representar ecuaciones de una manera más simple y aún más fiel; pues, con ejes oblicuos, al estar el espacio dividido por ellos en regiones que ya no tienen una perfecta identidad, se sigue que, si el lugar geométrico de la ecuación se extiende a todas estas regiones a la vez, se presentarán, debido meramente a esta desigualdad de los ángulos, diferencias de figura que no corresponden a ninguna diversidad analítica, y alterarán necesariamente la rigurosidad exacta de la representación al confundirse con los resultados propios de las comparaciones algebraicas.
Por ejemplo, una ecuación como: xm + ym = c, que por su perfecta simetría debería dar evidentemente una curva compuesta de cuatro cuartos idénticos, estará representada, por el contrario, si tomamos ejes no rectangulares, por un lugar geométrico cuyas cuatro partes serán desiguales.
Es evidente que el único medio de evitar todos los inconvenientes de este tipo es suponer que el ángulo de los dos ejes sea un ángulo recto.
La discusión precedente muestra claramente que, aunque el sistema ordinario de coordenadas rectilíneas no posee una superioridad constante sobre todos los demás en uno de los dos puntos de vista fundamentales que se combinan continuamente en la geometría analítica, sin embargo, como, por otra parte, no es constantemente inferior, su mayor aptitud necesaria y absoluta para la representación de ecuaciones debe hacer que por lo general se le dé la preferencia; aunque evidentemente pueda suceder, en algunos casos particulares, que la necesidad de simplificar las ecuaciones y de obtenerlas más fácilmente determine a los geómetras a adoptar un sistema menos perfecto.
El sistema rectilíneo es, por tanto, aquel por medio del cual se construyen ordinariamente las teorías más esenciales de la geometría general, destinadas a expresar analíticamente los fenómenos geométricos más importantes.
Cuando se cree necesario elegir algún otro, el sistema polar es casi siempre por el que se opta, siendo este sistema de una naturaleza suficientemente opuesta a la del sistema rectilíneo como para hacer que las ecuaciones, que resultan demasiado complicadas respecto a este último, se vuelvan, por lo general, suficientemente simples respecto al otro.
Las coordenadas polares, además, tienen a menudo la ventaja de admitir una significación concreta más directa y natural; como ocurre en la mecánica, para las cuestiones geométricas a las que da lugar la teoría del movimiento circular, y en casi todos los casos de la geometría celestial.