La división fundamental del cálculo diferencial, o del tema general de la diferenciación, consiste en distinguir dos casos, según que las funciones analíticas que han de ser diferenciadas sean explícitas o implícitas; de lo cual se desprenden dos partes ordinariamente designadas con los nombres de diferenciación de fórmulas y diferenciación de ecuaciones. Es fácil comprender, a priori, la importancia de esta clasificación.
En realidad, dicha distinción sería ilusoria si el análisis ordinario fuera perfecto; es decir, si supiéramos resolver todas las ecuaciones algebraicamente, pues entonces sería posible hacer explícita toda función implícita; y, al diferenciarla en ese estado únicamente, la segunda parte del cálculo diferencial estaría comprendida inmediatamente en la primera, sin dar lugar a ninguna nueva dificultad.
Pero siendo la resolución algebraica de las ecuaciones, como hemos visto, todavía casi propia de su infancia, y hasta ahora imposible para la mayor parte de los casos, es evidente que la situación es muy distinta, ya que tenemos, propiamente hablando, que diferenciar una función sin conocerla, a pesar de estar determinada.
La diferenciación de funciones implícitas constituye, pues, por su naturaleza, una cuestión verdaderamente distinta de la que presentan las funciones explícitas, y necesariamente más complicada.
Es así evidente que debemos comenzar por la diferenciación de fórmulas, y reducir la diferenciación de ecuaciones a este caso primario mediante ciertas consideraciones analíticas invariables, que no es necesario mencionar aquí.
Estos dos casos generales de diferenciación son también distintos bajo otro punto de vista igualmente necesario, y demasiado importante para pasarlo por alto.
La relación que se obtiene entre los diferenciales es constantemente más indirecta, en comparación con la de las cantidades finitas, en la diferenciación de funciones implícitas que en la de funciones explícitas.
Sabemos, en efecto, por las consideraciones presentadas por Lagrange sobre la formación general de las ecuaciones diferenciales, que, por una parte, la misma ecuación primitiva puede dar lugar a un número mayor o menor de ecuaciones derivadas de formas muy diferentes, aunque en el fondo equivalentes, según cuál sea la constante arbitraria que se elimine, lo cual no ocurre en la diferenciación de fórmulas explícitas; y que, por otra parte, el sistema ilimitado de las diferentes ecuaciones primitivas que corresponden a una misma ecuación derivada presenta una variedad analítica mucho más profunda que el de las diferentes funciones que admiten un mismo diferencial explícito, y que se distinguen entre sí únicamente por un término constante.
Las funciones implícitas deben considerarse, por tanto, como aún más modificadas en realidad por la diferenciación que las funciones explícitas. Volveremos a encontrar esta consideración en relación con el cálculo integral, donde adquiere una importancia preponderante.
- Dos subcasos: una sola variable o varias variables.
Cada una de las dos partes fundamentales del Cálculo Diferencial se subdivide en dos teorías muy distintas, según se nos requiera diferenciar funciones de una sola variable o funciones de varias variables independientes. Este segundo caso es, por su naturaleza, bastante distinto del primero, y evidentemente presenta más complicación, aun considerando solo las funciones explícitas, y más todavía aquellas que son implícitas.