Concedido este primer punto, la relación propuesta se deduce inmediatamente de él de un modo muy exacto y sencillo.
Ahora bien, la consideración analítica mediante la cual se ha intentado establecer esta proposición anterior es de tal naturaleza que, si pudiera ser correcta, podríamos deducir rigurosamente de ella, reproduciéndola de manera inversa, este absurdo palpable de que dos lados de un triángulo bastan, sin ningún ángulo, para la determinación completa del tercer lado. Podemos hacer observaciones análogas sobre todas las demostraciones de esta índole, cuyos sofismas quedarán así verificados de una manera perfectamente aparente.
Cuanto más motivos tenemos hoy en día para considerar que la geometría es esencialmente analítica, más necesario era precaverse contra esta exageración abusiva del análisis matemático, según la cual se prescindiría de toda observación geométrica al establecer sobre puras abstracciones algebraicas los fundamentos mismos de esta ciencia natural.
Intentos de demostración de los axiomas, etc.
Otro indicio de que los geómetras han pasado demasiado por alto el carácter de ciencia natural que es necesariamente inherente a la geometría, se manifiesta en sus vanos intentos, prolongados durante tanto tiempo, de demostrar rigurosamente, no con la ayuda del cálculo, sino por medio de ciertas construcciones, varias proposiciones fundamentales de la geometría elemental.
Hágase lo que se hágase, será evidentemente imposible evitar el recurrir a veces a la observación simple y directa en geometría como medio para establecer diversos resultados. Si bien en esta ciencia los fenómenos considerados están, en virtud de su extrema simplicidad, mucho más estrechamente conectados entre sí que los relativos a cualquier otra ciencia física, aun así deben hallarse algunos que no pueden deducirse y que, por el contrario, sirven como puntos de partida.
Puede admitirse que la mayor perfección lógica de la ciencia consiste en reducir estos al menor número posible, pero sería absurdo pretender hacerlos desaparecer por completo. Confieso, por lo demás, que encuentro menos inconvenientes reales en extender, un poco más allá de lo que sería estrictamente necesario, el número de estas nociones geométricas establecidas así por observación directa, siempre que sean suficientemente simples, que en convertirlas en objeto de demostraciones complicadas e indirectas, aun cuando estas demostraciones puedan ser lógicamente irreprochables.
Habiendo quedado así caracterizado con la mayor exactitud posible el verdadero destino dogmático de la geometría de los antiguos, reducida a sus desarrollos indispensables mínimos, conviene considerar sumariamente cada una de las partes principales de las que debe componerse. Pienso que aquí puedo limitarme a considerar la primera y más extensa de estas partes, aquella que tiene por objeto el estudio de la línea recta; las otras dos secciones, a saber, la * cuadratura de los polígonos y la cubatura de los poliedros*, debido a su extensión limitada, no son capaces de dar lugar a ninguna consideración filosófica de importancia alguna, distinta de las indicadas en el capítulo precedente con respecto a la medida de las áreas y de los volúmenes en general.