fácilmente cuán por debajo de la verdadera dificultad deben encontrarse frecuentemente nuestras concepciones, sobre todo si añadimos que, como estos elementos de nuestro análisis nos han sido proporcionados en primer lugar por la consideración matemática de los fenómenos más simples, no tenemos, a priori, ninguna garantía racional de su idoneidad necesaria para representar la ley matemática de cualquier otra clase de fenómenos.
Explicaré en seguida el artificio general, tan profundamente ingenioso, por el cual la mente humana ha logrado disminuir, en un grado notable, esta dificultad fundamental que presenta la relación de lo concreto con lo abstracto en las matemáticas, sin que, sin embargo, haya sido necesario multiplicar el número de estos elementos analíticos.
# LAS DOS DIVISIONES PRINCIPALES DEL CÁLCULO.
Las explicaciones precedentes determinan con precisión el verdadero objeto y el campo real de las matemáticas abstractas.
Debo pasar ahora al examen de sus principales divisiones, pues hasta ahora hemos considerado el cálculo en su conjunto.
La primera consideración directa que debe presentarse sobre la composición de la ciencia del cálculo consiste en dividirla, en primer lugar, en dos ramas principales, a las que, a falta de denominaciones más adecuadas, daré los nombres de cálculo algebraico, o álgebra, y de cálculo aritmético, o aritmética; pero con la advertencia de tomar estas dos expresiones en su aceptación lógica más amplia, en lugar del significado con mucho demasiado restringido que habitualmente se les atribuye.
La solución completa de cualquier cuestión del cálculo, desde la más elemental hasta la más trascendental, se compone necesariamente de dos partes sucesivas, cuya naturaleza es esencialmente distinta.
En la primera, el objeto es transformar las ecuaciones propuestas de modo que se haga manifiesto el modo en que las cantidades incógnitas son formadas por las conocidas: esto es lo que constituye la cuestión algebráica.
En la segunda, nuestro objeto es hallar los valores de las fórmulas así obtenidas; es decir, determinar directamente los valores de los números buscados, los cuales ya están representados por ciertas funciones explícitas de números dados: esta es la cuestión aritmética.
Es evidente que, en toda solución que sea verdaderamente racional, esta sigue necesariamente a la cuestión algebraica, de la cual forma el complemento indispensable, puesto que es evidentemente necesario conocer el modo de generación de los números buscados antes de determinar sus valores reales para cada caso particular.
Así, el punto de detención de la parte algebraica de la solución se convierte en el punto de partida de la parte aritmética.
Vemos por tanto que el cálculo algebraico y el cálculo aritmético difieren esencialmente en su objeto. No difieren menos en el punto de vista bajo el cual consideran las cantidades; las cuales se consideran en el primero en cuanto a sus relaciones, y en el segundo en cuanto a sus valores. El verdadero espíritu del cálculo, en general, exige que esta distinción se mantenga con la más severa exactitud, y que la línea de demarcación entre los dos periodos de la solución sea tan clara y distinta como lo permita la