las líneas rectas a las de las curvas, y que consiste esencialmente en sustituir la curva por la consideración auxiliar de un polígono inscrito o circunscrito, mediante el cual se elevaban a la curva misma, tomando de manera adecuada los límites de las razones primitivas.
Por incontestable que sea esta filiación de ideas, se le otorgaría una importancia sumamente exagerada si se viera en este método de exhausción el equivalente real de nuestros métodos modernos, como lo han hecho algunos geómetras; pues los antiguos no disponían de medios lógicos y generales para la determinación de estos límites, lo que constituía comúnmente la mayor dificultad del problema; de modo que sus soluciones no estaban sujeta a reglas abstractas e invariables cuya aplicación uniforme condujera con certeza al conocimiento buscado, lo cual es, por el contrario, la característica principal de nuestro análisis trascendental.
En una palabra, aún restaba la tarea de generalizar las concepciones empleadas por los antiguos y, más especialmente, considerándola de un modo puramente abstracto, de reducirla a un sistema completo de cálculo, lo cual para ellos era imposible.
La primera idea que se produjo en esta nueva dirección se remonta al gran geómetra Fermat, a quien Lagrange ha presentado con justicia como habiendo esbozado la formación directa del análisis trascendental mediante su método para la determinación de máximos y mínimos, y para el hallazgo de tangentes, el cual consistía esencialmente en introducir la consideración auxiliar de los incrementos correlativos de las variables propuestas, incrementos que luego se suprimían como iguales a cero una vez que las ecuaciones habían experimentado ciertas transformaciones adecuadas.
Pero, aunque Fermat fue el primero en concebir este análisis de una manera verdaderamente abstracta, este aún distaba mucho de estar regularmente formado en un cálculo general y distinto que tuviera su propia notación, y especialmente libre de la consideración superfluas de términos que, en el análisis de Fermat, finalmente no se tomaban en cuenta, después de haber complicado sin embargo enormemente todas las operaciones con su presencia.
Esto es lo que Leibniz ejecutó tan felizmente, medio siglo más tarde, tras algunas modificaciones intermedias de las ideas de Fermat introducidas por Wallis, y aún más por Barrow; y él ha sido así el verdadero creador del análisis trascendental, tal como lo empleamos hoy en día.
Este admirable descubrimiento estaba tan maduro (como todas las grandes concepciones del intelecto humano en el momento de su manifestación), que Newton, por su parte, había llegado, al mismo tiempo, o un poco antes, a un método exactamente equivalente, al considerar este análisis bajo un punto de vista muy diferente, el cual, aunque más lógico en sí mismo, se adapta en realidad menos a dar a todo el método fundamental la extensión y la facilidad que le han sido conferidas por las ideas de Leibnitz.
Finalmente, Lagrange, dejando a un lado las consideraciones heterogéneas que habían guiado a Leibniz y a Newton, ha logrado reducir el análisis trascendente, en su mayor perfección, a un sistema puramente algebraico, al que sólo le falta una mayor aptitud para sus aplicaciones prácticas.
Después de esta ojeada sumaria a la historia general del análisis trascendental, procederemos a la exposición dogmática de las tres concepciones principales, para apreciar con exactitud sus propiedades características y mostrar la identidad necesaria de los métodos que de ahí se derivan. Comencemos por el de Leibniz.