Si imaginamos una elipse que rueda sobre una línea, cualquiera de sus focos describirá una línea sinuosa u ondulada (Fig. 61B) a una distancia alternativamente máxima y mínima del eje; y esta línea ondulada, por rotación alrededor del eje, se convierte en la línea meridional de la superficie que llamamos unduloide. Cuanto más desiguales sean los dos ejes de nuestra elipse, más pronunciada será la sinuosidad de la ruleta descrita.
Si los dos ejes son iguales, entonces nuestra elipse se convierte en un círculo, y la trayectoria descrita por su centro de rozamiento es una línea recta paralela al eje (A); y es evidente que el sólido de revolución generado a partir de ella será un cilindro.
Si uno de los ejes de nuestra elipse desaparece, mientras que el otro permanece de longitud finita, entonces la elipse se reduce a una línea recta, y su ruleta aparecerá como una sucesión de semicírculos que se tocan unos a otros sobre el eje (C); el sólido de revolución será una serie de esferas iguales.
Si, como antes, uno de los ejes de la elipse desaparece, pero el otro es infinitamente largo, entonces la curva descrita por la rotación {219} de este último será un círculo de radio infinito, es decir, una línea recta infinitamente distante del eje; y la superficie de rotación es ahora un plano.
Si imaginamos que uno de los focos de nuestra elipse permanece a una distancia dada del eje, pero el otro se vuelve infinitamente remoto, eso equivale a decir que la elipse se transforma en una parábola; y mediante el rodamiento de esta curva a lo largo del eje se describe una catenaria (D), cuyo sólido de revolución es el catenoide.
Por último, pero esto es un poco más difícil de imaginar, tenemos
el caso de la hipérbola.
No podemos imaginarnos bien la hipérbola rodando sobre una recta fija de tal modo que su foco describa una curva continua. Pero supongamos que la línea fija es, para empezar, asintótica a una rama de la hipérbola, y que la rodadura prosigue hasta que la línea es ahora asintótica a la otra rama, es decir, tocándola a una distancia infinita; habrá entonces continuidad mathôÙeôÙmatôÙiôÙcal si reiniciamos la rodadura con esta segunda rama, y así sucesivamente con la otra, una vez que cada una haya recorrido su curso. Veremos, tras una reflexión, que la línea trazada por uno y el mismo foco será una «curva elástica» que describe una sucesión de bucles o nudos (E), y el sólido de revolución descrito por esta línea meridional alrededor del eje es el llamado nodoid.
La transición física de una de estas superficies en otra puede ilustrarse experimentalmente por medio de pompas de jabón, o mejor aún, según el método de Plateau, mediante un gran glóbulo de aceite, sostenido cuando sea necesario por anillos de alambre, dentro de un fluido de gravedad específica igual a la suya.
Preparar una mezcla de alcohol y agua de una densidad precisamente igual a la del glóbulo de aceite es un asunto laborioso, y el método ideado por el Sr. C. R. Darling representa una gran mejora respecto al de