Examinemos por un momento la geometría de nuestra figura. Sea o (Fig. 120) el centro del tetraedro, es decir, el centro de simetría donde se encuentran nuestras películas; y sean oa, ob, oc, od, las líneas trazadas hacia las cuatro esquinas del tetraedro. Prolongúese ao para que corte a la base en p; entonces apd es un triángulo rectángulo. No es difícil demostrar que en dicha figura, o (el centro de gravedad del sistema) {318} se encuentra exactamente a tres cuartas partes de la distancia entre un vértice, a, y un punto, p, que es el centro de gravedad de la base opuesta. Por lo tanto
Por lo tanto
Es decir, el ángulo aod es exactamente, con la mayor aproximación posible, 109ô¯ã€₤28ÿ£¢ã€ýã€₤16ÿ£¢ã€°. Este ángulo, por tanto, de 109ô¯ã€₤28ÿ£¢ã€ýã€₤16ÿ£¢ã€°, o muy cerca de 109 grados y medio, es el ángulo en el que, en este y en cualquier otro sistema sólido de películas líquidas, los bordes de las paredes divisorias se encuentran en un punto. Es el ángulo fundamental en la geometría sólida de nuestros sistemas, del mismo modo que 120ô¯ era el ángulo fundamental de simetría mientras solo consideramos la proyección plana, o sección plana, de tres películas que se encuentran en un borde.
A partir de estos dos ángulos, podemos construir una gran variedad de figuras, planas y sólidas, las cuales se vuelven tanto más variadas y complejas cuando, al considerar el caso de celdas desiguales además de iguales, admitimos superficies limítrofes tanto curvas (por ejemplo, esféricas) como planas.
Consideremos algunos ejemplos e ilustraciones de estas, comenzando por aquellas que solo necesitamos considerar con referencia a un plano.
Imaginen un sistema de cilindros iguales, o esferas iguales, en contacto mutuo sobre un plano y representado en sección por los círculos iguales y contiguos de la Fig. 121. Por cierto, tomo prestada esta figura de un viejo naturalista italiano, Bonanni (contemporáneo de Borelli, de Ray y Willoughby, y de Martin Lister), quien trató este asunto en un libro dedicado principalmente a las conchas de moluscos20.
Es evidente, como simple hecho geométrico, que cada uno de estos círculos iguales está en contacto con seis círculos circundantes. Imagínese ahora que todo el sistema queda bajo alguna tensión uniforme.
Puede tratarse de una tensión superficial uniforme en los límites de todas las celdas; puede ser de una presión causada por un crecimiento o expansión uniformes dentro de las celdas; o puede deberse a cierta presión constrictiva aplicada uniformemente desde el exterior. En todos estos casos, los puntos de contacto entre los círculos del diagrama se extenderán en {319} líneas de contacto, que representan superficies de contacto en las esferas o cilindros reales; y los círculos iguales de nuestro diagrama se convertirán en hexágonos regulares e iguales.
Los ángulos de estos hexágonos, en cada uno de los cuales concurren tres hexágonos, son por supuesto ángulos de 120°. En lo que respecta a la forma, siempre que nos ocupe únicamente un resultado morfológico y no un proceso fisiológico, el resultado es precisamente el mismo sea cual fuere la fuerza que reúne a los cuerpos en aposición simétrica; no es en absoluto necesario para nosotros, en primera instancia, ni siquiera indagar si es la tensión superficial o la presión mecánica o alguna otra fuerza física la causa, o la causa principal, del fenómeno.