corôÙresôÙponôÙdienôÙte al incremento del ángulo vectorial. Hemos visto, a partir de algunas de las mediciones de Naumann y Grabau, que dicha tendencia a variar, dicha aceleración o retardación, puede detectarse incluso en amonites que no presentan nada anormal a simple vista. Pero supongamos que el ángulo de la espiral aumenta con cierta rapidez; obtendremos entonces una espiral con vueltas que se estrechan gradualmente, y esta condición es carôÙacôÙterôÙísôÙtiôÙca
de Oekotraustes, un subgénero de Ammonites. Si, por otra parte, el ángulo öÝ disminuye gradualmente, e incluso se reduce a cero, tendremos que la curva espiral se abre, como ocurre en Scaphites, Ancyloceras y Lituites, hasta que la vuelta espiral es reemplazada por una curva espiral tan suave que parece casi recta. Por último, hay unos pocos casos, como Bellerophon expansus y algunos Goniatites, en los que la espiral externa no cambia perceptiblemente, pero las vueltas se vuelven más 〜abrazadoras〠o toda la concha más involuta. Aquí es el ángulo de retardación, la proporción de crecimiento entre las partes externa e interna de la vuelta, el que experimenta un cambio gradual.
Para comprender la relación de una concha de espiral cerrada con la de sus congéneres más rectilíneas, para comparar (por ejemplo) un {551} amonite con un ortoceratites, es necesario estimar la longitud del cono recto que ha sido, por decirlo así, enrollado en la concha en espiral. Nuestro problema es, por tanto, hallar la longitud de una espiral logarítmica plana, en función del radio y del ángulo constante öÝ. En el diagrama adjunto, si OP es un radio vector, OQ una línea de referencia perpendicular a OP, y PQ una tangente a la curva, PQ, o secã€₤öÝ, es igual en longitud al arco de espiral OP. Y esto es prácticamente obvio: pues PPÿ£¢ã€ýã€₤ã „ã€₤PRÿ£¢ã€ý =ã€₤dsã€₤ã „ã€₤dr =ã€₤secã€₤öÝ, y por lo tanto secã€₤öÝ =ã€₤sã€₤ã „ã€₤r, o la razón entre el arco y el radio vector.