Such a definition, though not commonly used by mathematicians, has been occasionally employed; and it is one from which the other properties of the curve can be deduced with great ease and simplicity. In mathôÙeôÙmatôÙiôÙcal language it would run as follows: 〜Any [plane] curve proceeding from a fixed point (which is called the pole), and such that the arc intercepted between this point and any other whatsoever on the curve is always similar to itself, is called an equiangular, or logarithmic, spiral4.ã€
En esta definición tenemos probablemente la propiedad más fundamental e «intrínseca» de la curva, a saber, la propiedad de la similitud continua; y esta es en verdad la propiedad misma por la cual se halla peculiarmente asociada al crecimiento orgánico en estructuras tales como el cuerno o la concha, o la cima escorpioide que se describe en la pág. 502. Pues es peculiarôÙmenôÙte carôÙacôÙterôÙísôÙtiôÙco de la espiral de una concha, por ejemplo, que (bajo todas las circunstancias normales) no altera su forma a medida que crece; cada incremento es geométricamente similar a su predecesor, y el todo, en cualquier época, es similar a lo que constituía el todo en otra y más temprana época. No sentimos sorpresa cuando el animal que secreta la concha, o cualquier otro animal en absoluto, crece mediante tal {508} expansión simétrica como para preservar su forma inalterada; aunque incluso ahí, como ya hemos visto, la forma inalterada denota un delicado equilibrio entre las tasas de crecimiento en varias direcciones, el cual rara vez se mantiene con precisión por mucho tiempo. Pero la concha conserva su forma inalterada a pesar de su crecimiento asimétrico; crece por un solo extremo, y lo mismo hace el cuerno. Y esta notable propiedad de crecer por crecimiento terminal, pero manteniendo sin embargo inalterada la forma de la figura entera, es carôÙacôÙterôÙísôÙtiôÙca de la espiral logarítmica, y de ninguna otra curva matemática.
Podemos ilustrar de inmediato este curioso fenómeno dibujando el contorno de una pequeña concha de Nautilus dentro de otra grande. Sabemos, o podemos ver al instante, que tienen exactamente la misma forma; de modo que, si miramos la concha pequeña a través de una lupa, se vuelve idéntica a la grande. Pero sabemos, por otra parte, que la pequeña concha de Nautilus se convierte en la grande, no mediante un crecimiento uniforme o una magnificación en todas direcciones, como ocurre (aunque solo sea de forma aproximada) cuando el niño se convierte en hombre, sino creciendo por un solo extremo.
Aunque de todas las curvas esta propiedad de semejanza continua se encuentra únicamente en la espiral logarítmica, hay muchísimas figuras rectilíneas en las que puede observarse. Por ejemplo, como podemos ver fácilmente, se cumple en cualquier cono recto; pues es evidente que, en la Fig. 248, el pequeño cono interior (representado en su sección triangular) puede volverse idéntico al mayor ya sea por una magnificación general (como en a), o simplemente por un incremento en un extremo (como en b); en verdad, en el caso del cono, tenemos todavía