En la Fig. 279 tenemos porciones de dos vueltas sucesivas, cuyos puntos corôÙreôÙsponôÙdientes sobre el mismo radio vector (como R y Rÿ£¢ã€ý) se encuentran, por lo tanto, a una distancia de separación corôÙreôÙsponôÙdiente a 2ü€. Sean r y rÿ£¢ã€ý referidos a los lados internos, y R, Rÿ£¢ã€ý a los externos de las dos vueltas. Entonces, si consideramos se deduce que y
Ahora en los tres casos (a, b, c) representados en la Fig. 278, es
evidente que rÿ£¢ã€ý
The case in which ö£eÿ£¢2ü€ã€₤cotã€₤öÝ =ã€₤1, or ㈒logã€₤ö£ =ã€₤2ü€ã€₤cotã€₤öÝã€₤logã€₤öç, is the case represented in Fig. 278, b: that is to say, the particular case, for each value of öÝ, where the consecutive whorls just touch, without interspace or overlap. For such cases, then, we may tabulate the values of ö£, as follows:
| Ángulo constante öÝ de la espiral | Ratio (ö£) of rate of growth of inner border of tube, as compared with that of the outer border |
|---|---|
| 89ô¯ | ôñ896〇 |
| 88〈 | ôñ803〇 |
| 87〈 | ôñ720〇 |
| 86〈 | ôñ645〇 |
| 85〈 | ôñ577〇 |
| 80〈 | ôñ330〇 |
| 75〈 | ôñ234〇 |
| 70〈 | ôñ1016 |
| 65⟨ | ôñ0534 |
Vemos, en consecuencia, que en las espirales planas cuyo ángulo constante se encuentra, digamos, entre 65º y 70º, solo podemos obtener contacto entre espiras consecutivas si la tasa de crecimiento del borde interno del tubo es una pequeña fracción —una décima o una vigésima parte— de la del borde externo. En las espirales cuyo ángulo constante es de 80º, el contacto se logra cuando las respectivas tasas de crecimiento son, aproximadamente, de 3 a 1; mientras que en las espirales de ángulo constante de aproximadamente 85º a 89º, el contacto se logra cuando las tasas de crecimiento están en una proporción de aproximadamente 3⦋⸲⦌5 a 9⦋⸲⦌10.