Los problemas que hemos estado considerando, y en especial el de la celda de la abeja, pertenecen a una clase de problemas isoperimétricos, los cuales tratan con figuras cuya superficie es un mínimo para un contenido o volumen determinado. Tales problemas pronto se vuelven difíciles, pero podemos encontrar muchos ejemplos sencillos que nos conducen hacia la explicación de fenómenos biológicos; y el tema particular que nos resultará más fácil de abordar es el de la división, en proporciones definidas, de alguna porción definida del espacio, mediante una pared divisoria de área mínima. Los principios teóricos así alcanzados intentaremos aplicarlos entonces, según el método de Berthold y Errera, a los fenómenos biológicos reales de la división celular.
Esta inôÙvesôÙtiôÙgaôÙtion podemos abordarla de dos maneras:
- considerando, a saber, la separación de una mitad (o alguna otra fracción) de su contenido a partir de un espacio o área dada; o
- de nuevo, tratando simultáneamente con las particiones necesarias para la división de un espacio dado en un número determinado de compartimentos.
Si tomamos, para empezar, el caso simple de una célula cúbica, es evidente que, para dividirla en dos mitades, el tabique de separación más pequeño posible es aquel que corre paralelo a dos de sus lados opuestos y a mitad de camino entre ellos. Si llamamos a a la longitud de una de las aristas del cubo, entonces aÿ£¢2 es el área, tanto de uno de sus lados, como del tabique que hemos interpuesto de forma paralela o normal al mismo. Pero si ahora consideramos el cubo bisecado y deseamos dividir de nuevo una de sus mitades, es evidente que otro tabique paralelo al primero, lejos de ser el más pequeño posible, es precisamente el doble del tamaño de un tabique transversal perpendicular a él; {347} pues el área de este nuevo tabique es aã€₤û—ã€₤aã€₤ã „ã€₤2. Y de nuevo, para una tercera bisección, nuestro siguiente tabique debe ser perpendicular a los otros dos, y es evidentemente un pequeño cuadrado, con un área de (ô§ã€₤a)ÿ£¢2 =ã€₤ô¥ã€₤aÿ£¢2ã€₤.
De esto podemos extraer la regla simple de que, para que un cuerpo rectangular o paralelepípedo sea dividido en partes iguales mediante una partición de área mínima, (1) la partición debe cortar a través del eje más largo de la figura; y (2) en el caso de bisecciones sucesivas, cada partición debe correr en ángulo recto respecto a su inmediata predecesora.