Sea el ángulo NVX, que es la mitad del ángulo sólido del prisma, =ã€₤ö¡; el lado del hexágono, como AB, =ã€₤a; y la altura, como Aa, =ã€₤h.
Entonces,
Y VX =ã€₤aã€₤ã „ã€₤sinã€₤ö¡ (de la inspección del triángulo LXB)
Por lo tanto, el área del rombo VAXC =ã€₤(aÿ£¢2ã€₤㈚ÿ£¢3)ã€₤ã „ã€₤(2 sinã€₤ö¡).
Y el área de AabX =ã€₤(aã€₤ã „ã€₤2)(2hã€₤㈒ã€₤ô§VXã€₤cosã€₤ö¡)
Por lo tanto, el área total de la figura
Por lo tanto
But this expression vanishes, that is to say, d(Area)ã€₤ã „ã€₤dö¡ =ã€₤0, when cosã€₤ö¡ =ã€₤1ã€₤ã „ã€₤㈚ÿ£¢3, that is when ö¡ =ã€₤54ô¯ã€₤44ÿ£¢ã€ýã€₤8ÿ£¢ã€°
Esta es, por tanto, la condición bajo la cual el área total de la figura alcanza su valor mínimo.
Que la hermosa regularidad de la arquitectura de la abeja se debe a algún juego automático de las fuerzas físicas, y que resulta fantasioso suponer (con Pappus y Rûˋaumur) que la abeja busca intencionadamente un método para economizar cera, es cierto, pero la manera precisa de esta acción automática no está tan clara. Cuando la abeja melífera construye una celda solitaria, o un pequeño grupo de celdas, como hace para aquellos huevos que han de desarrollarse como reinas, realiza tan solo una obra tosca. Las celdas reales son masas de cera basta, ahuecadas y moldeadas a mordiscos de forma burda, que llevan las marcas de las mandíbulas de la abeja, como las marcas de una azuela roma en un tronco desbastado. Omitiendo el más simple de todos los casos, cuando (como entre algunos abejorros) los capullos viejos se usan para contener miel, las celdas construidas por las avispas y abejas «solitarias» son de diversa índole. Pueden formarse tabicando pequeñas cámaras en un tallo hueco; {332} pueden ser cápsulas redondeadas u ovales, a menudo construidas con gran pulcritud, de barro, o de fibra vegetal, o de piedrecitas, aglutinadas con un pegamento salival; pero no muestran, aparte de su forma redondeada o tubular, ninguna simetría matôÙeôÙmatôÙiôÙcal. Las avispas sociales y muchas abejas construyen, por lo general con materia vegetal masticada hasta formar una pasta con saliva, hermosísimos nidos de «panales»; y las celdas papiráceas apretadas unas contra otras que constituyen estos panales son tan regularmente hexagonales como las celdas de cera de la abeja melífera. Pero en estos casos (o en casi todos ellos) las celdas están en una sola hilera; sus lados son regularmente hexagonales, pero sus extremos, por la falta de fuerzas opuestas, siguen siendo simplemente esféricos. En Melipona domestica (de la cual Darwin resume la descripción de Pierre Huber) «las grandes celdas de miel de cera son casi esféricas, casi iguales en tamaño, y se agrupan en una masa irregular». Pero la forma esférica solo se observa en el exterior de la masa; pues hacia el interior cada celda se aplana en «dos, tres o más superficies planas, según que la celda colinde con otras dos, tres o más celdas. Cuando una celda descansa sobre otras tres celdas, lo cual, al ser las esferas de tamaño casi idéntico, ocurre muy frecuentemente y por necesidad, las tres superficies planas se unen en una pirámide; y esta pirámide, como ha señalado Huber, es manifiestamente una burda imitación de la base piramidal de tres lados de la celda de la abeja melífera31.» La cuestión consiste en averiguar a qué fuerza particular debemos atribuir las superficies planas y los ángulos definidos que delimitan los lados de la celda en todos estos casos, y los extremos de la celda en los casos en que una hilera se encuentra y se opone a otra. Hemos visto que Bartholin