En esta breve exposición de las transformaciones de coordenadas y de su utilidad morfológica, me he ocupado únicamente de las coordenadas planas y no he hecho mención del tema, menos elemental, de las coordenadas en el espacio tridimensional.
En teoría no existe dificultad alguna en dicha extensión de nuestro método; es exactamente igual de fácil referir la forma de nuestro pez o de nuestro cráneo a las coordenadas rectangulares x, y, z, o a las coordenadas polares öƒ, öñ, öÑ, que referir sus proyecciones planas a los dos ejes a los que se ha limitado nuestra investigación. Y huelga decir que sería ventajoso hacerlo; pues es la forma del objeto sólido, y no la del mero dibujo del objeto, lo que queremos comprender; y ya hemos comprobado que algunos de nuestros problemas sencillos de geometría del sólido nos conducen rápidamente (como en el caso de la forma de la concha de bivalvo y aun de la de univalvo) en dirección al análisis de coordenadas y a la teoría de las transformaciones confórmales.
Pero no he intentado proseguir con este tema ampliado, el cual debe dejarse para otros tiempos y otras manos. No obstante, echemos un vistazo por un momento al tipo de casos sencillos, los casos más simples posibles, con los que cabría iniciar dicha investigación; y dado que nuestros sistemas de coordenadas planas se han mostrado aplicable con tanta facilidad y eficacia a ciertos peces, podemos buscar entre ellos nuestra primera introducción provisional al campo tridimensional.
Es bastante evidente que el mismo método de descripción y análisis que hemos aplicado a un plano, podemos aplicarlo a otro: trazando por observación, y mediante un proceso de ensayo y error, nuestras diversas secciones transversales y los sistemas de coordenadas que parezcan corresponder mejor.
Pero el nuevo e importante problema que surge ahora es correlacionar la deformación o transformación que descubrimos en un plano con la que hemos observado en otro: y al fin, tal vez, tras comprender los principios generales de dicha correlación, pronosticar aproximadamente lo que es probable que ocurra en los otros dos planos de referencia cuando conocemos uno, es decir, determinar los valores a lo largo de un eje en función de los otros dos.
Imaginemos un pez «redondo» común y un pez «plano» común, como el eglefino y la plaatija. Estos dos peces no se prestan tan bien a la comparación mediante coordenadas cartesianas como {775} algunos que hemos estudiado, debido a la presencia de diferencias esencialmente poco importantes pero notables en la posición de los ojos o en el número de las aletas, es decir, en el modo en que la aleta dorsal continua de la plaatija parece estar cortada o recortada en el eglefino en una serie de aletas separadas. Pero, en términos generales, y aparte de diferencias menores de este tipo, es evidente que el factor principal en este caso (por lo que actualmente podemos apreciar) es simplemente el ensanchamiento del cuerpo de la plaatija en comparación con el del eglefino, en dirección dorsoventral, es decir, a lo largo del eje y ; en otras palabras, la relación x ⁄ y es mucho menor (y de hecho poco más de la mitad) en el eglefino que en la plaatija. Pero también reconocemos de inmediato que, mientras la plaatija (en comparación con el eglefino) se expande en una dirección, también se aplana o adelgaza en la otra: y aumenta, pero z disminuye en relación con x . Y además, pronto vemos que este es un fenómeno común o incluso general. El cuerpo alto y expandido de nuestro Antigonia o de nuestro pez luna se encuentra al mismo tiempo aplanado o comprimido de lado a lado, en comparación con los peces emparentados que hemos elegido como patrones de referencia o comparación; y a la inversa, un pez como la raya, si bien se expande de lado a lado en comparación con un tiburón o una pintarroja, está al mismo tiempo aplanado o deprimido en su sección vertical. Procedemos entonces a indagar