Hagamos la suposición de que se añaden incrementos similares a la concha en tiempos iguales; es decir, que la cantidad de crecimiento en la unidad de tiempo se mide mediante las áreas subtendidas por ángulos iguales.
Así, en la espira exterior de una concha en espiral, un área definida delimitada por crestas, tubérculos, etc., tiene dimensiones lineales muy diferentes a las áreas correspondientes de la espira interior, pero la simetría de la figura implica que subtiende un ángulo igual con estas; y es razonable suponer que las regiones sucesivas, delimitadas de este modo por límites o patrones naturales sucesivos, se producen en intervalos de tiempo iguales.
Si esto es así, los radios medidos desde el polo hasta el límite de la concha serán en cada caso proporcionales a la velocidad de crecimiento en este punto sobre la circunferencia, y en el momento en que correspondía con el labio exterior, o región de crecimiento activo; y mientras que la dirección del radio vector se corresponde con la dirección del crecimiento en grosor del animal, la tangente a la curva se corresponde con la dirección, por el momento, del crecimiento en longitud del animal. Los radios sucesivos son una medida de la aceleración del crecimiento, y la curva espiral de la concha misma no es otra que el hodógrafo del crecimiento del organismo contenido. {517}
Hasta el punto en que hemos avanzado, hemos estudiado las propiedades elementales de la espiral logarítmica, incluida su propiedad fundamental de semejanza continua; y en consecuencia hemos aprendido que la concha o el cuerno tienden necesariamente a adoptar la forma de esta figura matemática, porque en estas estructuras el crecimiento se produce mediante incrementos sucesivos, que son siempre similares en forma, situados de manera similar y de magnitud relativa constante unos respecto de otros. Nuestros principales objetivos al investigar más a fondo las propiedades matemáticas de la espiral logarítmica serán: (1) encontrar medios para confirmar y verificar el hecho de que la concha (u otra curva orgánica) es en realidad una espiral logarítmica; (2) aprender cómo, mediante las propiedades de la curva, podemos ampliar aún más nuestro conocimiento o simplificar nuestras descripciones de la concha; y (3) comprender los factores por los cuales se determina la forma característica de cualquier espiral logarítmica en particular, y así comprender la naturaleza de los caracteres específicos o genéricos por los cuales se descubre que una concha en espiral difiere de otra.
De las propiedades elementales de la espiral logarítmica, hasta donde las hemos enumerado ahora, las siguientes son aquellas que podemos investigar más fácilmente en el caso concreto, tal como el que tenemos entre manos en la concha de los moluscos:
- (1) que los radios polares de puntos cuyos ángulos vectoriales están en progresión aritmética, están a su vez en progresión geométrica; y
- (2) que la tangente en cualquier punto de una espiral logarítmica forma un ángulo constante (llamado el ángulo de la espiral) con el radio vector polar.