lenguaje matemático, la presión ( p ) varía en proporción directa a la tensión ( T ) y en proporción inversa al radio de curvatura ( R ): es decir, p = T / R , por unidad de superficie. {217}
Si en lugar de un cilindro, que está curvado solo en una dirección, tomamos un caso en el que hay curvaturas en dos dimensiones (como por ejemplo una esfera), entonces los efectos de estas deben simplemente sumarse entre sí, y la presión resultante p es igual a Tã€₤ã „ã€₤Rã€₤+ã€₤Tã€₤ã „ã€₤Rÿ£¢ã€ý o p =ã€₤T(1ã€₤ã „ã€₤Rã€₤+ã€₤1ã€₤ã „ã€₤Rÿ£¢ã€ý)22.
Y si además de la presión p, que se debe a la tensión superficial, tenemos que tener en cuenta otras presiones, pÿ£¢ã€ý, pÿ£¢ã€°, etc., que se deben a la gravedad u otras fuerzas, entonces podemos decir que la presión total, P =ã€₤pÿ£¢ã€ýã€₤+ã€₤pÿ£¢ã€°ã€₤+ã€₤T(1ã€₤ã „ã€₤Rã€₤+ã€₤1ã€₤ã „ã€₤Rÿ£¢ã€ý). Si bien en algunos casos, por ejemplo al hablar de la forma del huevo de un ave, tendremos que tener en cuenta estas presiones extrañas, en la presente parte de nuestro tema podremos en su mayor parte prescindir de ellas.
Our equation is an equation of equiôÙlibôÙrium. The resistance to compression,〔the pressure outwards,〔of our fluid mass, is a constant quantity (P); the pressure inwards, T(1ã€₤ã „ã€₤Rã€₤+ã€₤1ã€₤ã „ã€₤Rÿ£¢ã€ý), is also constant; and if (unlike the case of the mobile amoeba) the surface be homogeneous, so that T is everywhere equal, it follows that throughout the whole surface 1ã€₤ã „ã€₤Rã€₤+ã€₤1ã€₤ã „ã€₤Rÿ£¢ã€ý =ã€₤C (a constant).
Now equiôÙlibôÙrium is attained after the surface contraction has done its utmost, that is to say when it has reduced the surface to the smallest possible area; and so we arrive, from the physical side, at the conclusion that a surface such that 1ã€₤ã „ã€₤Rã€₤+ã€₤1ã€₤ã „ã€₤Rÿ£¢ã€ý =ã€₤C, in other words a surface which has the same mean curvature at all points, is equivalent to a surface of minimal area: and to the same conclusion we may also arrive through purely analytical mathematics. It is obvious that the plane and the sphere are two examples of such surfaces, for in both cases the radius of curvature is everywhere constant, being equal to infinity in the case of the plane, and to some definite magnitude in the case of the sphere.
A partir del hecho de que podemos extender una película de jabón a través de un anillo de alambre por muy fantásticamente que este último esté doblado, nos damos cuenta de que no hay límite para el número de superficies de área mínima que pueden construirse o imaginarse; y aunque algunas de estas son en verdad muy complicadas, algunas, por ejemplo un tornillo helicoide espiral, son relativamente muy simples. Pero si nos limitamos a {218} superficies de revolución (es decir, a superficies simétricas respecto a un eje), encontramos, como Plateau fue el primero en demostrar, que aquellas que se ajustan al caso son muy pocas en número. Son seis en total, a saber, el plano, la esfera, el cilindro, el catenoide, el unduloide y una superficie curiosa que Plateau llamó nodoide.
Estas diversas superficies están todas estrechamente relacionadas, y el paso de una a otra es generalmente fácil. Su interrelación matemática se expresa mediante el hecho (demostrado por primera vez por Delaunay23, en 1841) de que las curvas planas mediante cuya rotación se generan son generadas a su vez como 〜ruletas〠de las secciones cónicas.
Imagínese una línea recta sobre la cual rueda un círculo, una elipse u otra sección cónica; el foco de la sección cónica describirá una línea en cierta relación con el eje fijo, y esta línea (o ruleta), al girar alrededor del eje, describirá en el espacio una u otra de las seis superficies de revolución de las que nos ocupamos.