el mantenimiento de una razón constante entre las tasas de extensión o crecimiento en las direcciones vertical y transversal conducirá, en general, al desarrollo de una espiral logarítmica; la magnitud de dicha razón determinará el carácter (es decir, el ángulo constante) de la espiral; y las espirales así producidas incluirán, como casos especiales o límite, el círculo y la línea recta.
Podemos prescindir de la hipótesis de los momentos flectores, si simplemente suponemos que los incrementos de crecimiento tienen lugar en un ángulo constante respecto a la superficie en crecimiento (como AB), pero más rápidamente en A (al que llamaremos el «borde exterior») que en B, y que esta diferencia de velocidad mantiene una constante proporción. Supongamos también que toda la estructura es rígida, y las nuevas acreciones se solidifican tan pronto como se depositan. Por ejemplo, {501} sea la Fig. 242 la que representa en sección el crecimiento temprano de una concha de Nautilus, y sea la parte ARB la etapa más temprana de todas, que en el Nautilus es casi semicircular. Tenemos que encontrar una ley que gobierne el crecimiento de la concha, tal que cada borde se desarrolle en una espiral equiangular; y esta ley, en consecuencia, debe ser la misma para cada borde, a saber, que en cada instante la dirección del crecimiento forma un ángulo constante con una línea trazada desde un punto fijo (llamado el polo de la espiral) hasta el punto en el que está teniendo lugar el crecimiento. Este crecimiento, según vemos ahora, puede considerarse como efectuado por la adición continua de cuadriláteros semejantes. Así, en la Fig. 241, AEDB es un cuadrilátero con AE, DB paralelos, y con el ángulo EAB de un valor determinado