A términos de magnitud y de dirección debemos referir todas nuestras concepciones de la forma. Pues la forma de un objeto queda definida cuando conocemos su magnitud, real o relativa, en varias direcciones; y el crecimiento entraña las mismas concepciones de magnitud y dirección, con este añadido: que se supone que estas se alteran en el tiempo.
Antes de proceder a la consideración de la forma específica, valdrá la pena que consideremos, durante un breve instante, ciertos fenómenos de la magnitud espacial, o de la extensión de un cuerpo en las diversas dimensiones del espacio1.
Se nos enseña en las matemáticas elementales que, en las figuras sólidas semejantes, la superficie aumenta como el cuadrado, y el volumen como el cubo, de las dimensiones lineales. Si tomamos el caso simple de una esfera, con radio r, el área de su superficie es igual a 4ü€rÿ£¢2ã€₤, y su volumen a (ÿ£¢4ÿ£¢ã „ÿ£¢3)ü€rÿ£¢3〉; de lo cual se sigue que la relación entre volumen y superficie, o Vÿ£¢ã „ÿ£¢Sã€₤, es (1ÿ£¢ã „ÿ£¢3)r. En otras palabras, cuanto mayor sea el radio (o cuanto más grande sea la esfera) mayor será su volumen, o su masa (si es uniformemente densa en todo su interior), en comparación con su área superficial. Y, tomando L para representar cualquier dimensión lineal, podemos escribir las ecuaciones generales en la forma o y
De estos principios elementales se siguen un gran número de consecuencias, todas más o menos interesantes, y algunas de ellas de gran importancia.
En primer lugar, aunque el crecimiento en longitud (digámoslo {17}) y el crecimiento en volumen (que por lo general equivale a masa o peso) son partes de uno y el mismo proceso o fenómeno, el primero atrae nuestra atención por su incremento mucho más que el segundo.
Por ejemplo, un pez, al duplicar su longitud, multiplica su peso nada menos que por ocho, y casi duplica su peso al crecer de cuatro a cinco pulgadas de largo.
En segundo lugar, vemos que el conocimiento de la correlación entre la longitud y el peso en cualquier especie particular de animal, en otras palabras, la determinación de k en la fórmula W =ã€₤kã€₤ôñã€₤Lÿ£¢3ã€₤, nos permite en cualquier momento traducir una magnitud en la otra, y (por decirlo así) pesar al animal con una vara de medir; estando esto sujeto siempre, sin embargo, a la condición de que el animal no haya alterado en modo alguno su forma ni su peso específico. Que su peso específico o densidad se altere material o rápidamente no es muy probable; pero mientras dure el crecimiento, es probable que se produzcan cambios de forma, aun cuando sean imperceptibles a la vista. Ahora bien, pesar es una operación mucho más fácil y mucho más exacta que medir; y las mediciones que revelarían cambios ligeros y por lo demás imperceptibles en la forma de un pez —ligeras diferencias relativas entre longitud, anchura y profundidad, por ejemplo— tendrían que ser en verdad muy delicadas. Pero si podemos hacer determinaciones bastante exactas de la longitud, que es con mucho la dimensión más fácil de medir, y luego correlacionarla con el peso, entonces el valor de k, según varíe o permanezca constante, nos dirá de inmediato si ha habido o no una tendencia a la alteración gradual en la forma general. A este tema volveremos cuando pasemos a considerar más en detalle la tasa de crecimiento.