ciervo rojo, un sambar o un uapití, no nos cuesta ver que ambas cuernas componen entre sí una sola superficie y constituyen una figura simétrica, siendo cada mitad la imagen especular de la otra.
Para decirlo de otro modo, un par de astas (aparte de ocasionales pequeñas irregularidades) tiende a constituir una figura tal que podríamos concebir una lámina elástica estirada sobre o alrededor de todo el sistema, de modo que forme una superficie continua y uniforme; y no solo la curvatura de la superficie sería en conjunto lisa y uniforme, sino que el límite de la superficie también tendería a ser una curva uniforme: es decir, las puntas de todas las ramificaciones se apôÙproxôÙiôÙmaôÙríaôÙn a tener su lugar geométrico en una curva continua.
De esto se deduce que, si queremos hacer un modelo simple de un conjunto de astas, nos ayudará en gran medida tomar alguna superficie esferoidal apropiada como base o andamiaje. La mejor forma de superficie es un asunto de prueba e inôÙvesôÙtiôÙgaôÙción en cada caso particular; pero incluso en una esfera, seleccionando áreas apropiadas de la misma, podemos obtener suficientes variedades de superficie para satisfacer todos los casos ordinarios. Con un simple trozo de arcilla de escultor o plastilina, nos las veríamos muy difíciles para modelar los cuernos de un wapití o un reno: pero si empezamos con una naranja (o un matraz florentino redondo) y colocamos nuestros pequeños rollos cónicos de plastilina sobre ella, en simples curvas naturales, es sorprendente ver con qué rapidez y éxito podemos imitar un tipo de asta tras otro. Al hacerlo, nos llamará la atención el hecho de que nuestro modelo puede variar en su modo de ramificación dentro de límites muy considerables, y aun así parecer perfectamente natural. Pues el mismo amplio margen de variación es carôÙacôÙterôÙísôÙtico de las propias astas naturales. Como dice Sir V. Brooke (op. cit. p. 892), «No hay dos astas que sean exactamente iguales; y la {632} variación a la que están sujetas las astas es tan grande que, a falta de una gran serie, se consideraría indicativa de varias especies distintas13.» Pero todas estas numerosas variaciones se encuentran dentro de un margen limitado, ya que todas están sujetas a nuestra regla general de que toda la estructura se confina esencialmente a una sola superficie curvada.
Es evidente que en las curvaturas tanto de la viga como de sus puntas, en los ángulos en que estas últimas se unen con la viga, y en los contornos de todo el sistema, intervienen muchos problemas matemáticos elegantes de los cuales no podemos ocuparnos por el momento.
Tampoco debemos intentar por ahora indagar en el significado físico o el origen de estos fenómenos, pues por ahora la pista parece faltar y solo acumularíamos una hipótesis sobre otra.
Que existe un contraste completo de propiedades matemáticas entre el cuerno y la cuerna es la principal lección con la que, por el momento, debemos conformarnos.
De dientes, y de pico y garra.
De un modo similar al que se manifiesta en la concha o en el cuerno, hallamos que la espiral logarítmica está implícita en una gran cantidad de otras estructuras orgánicas donde los fenómenos del crecimiento se desarrollan de la misma manera: es decir, donde en torno a un eje existe cierta asimetría que da lugar a tasas desiguales de crecimiento longitudinal, y donde la estructura es de tal índole que cada nuevo incremento se añade como una parte permanente e inalterable de toda la conformación. Uña y garra, pico y diente, todos entran en esta categoría. La espiral logarítmica siempre tiende a manifestarse en estructuras como estas, aunque por lo común solo atraiga nuestra atención en estructuras alargadas, en las cuales (es decir) el radio vector ha descrito un ángulo considerable. Cuando las garras del canario crecen demasiado por falta de uso, o