Lo primero puede ilustrarse con la espiral en la que un marinero enrolla un cabo sobre la cubierta; como el cabo es de grosor uniforme, en toda la espiral cada vuelta tiene la misma anchura que la que la precede y que la que la sigue. Usando su definición antigua, podemos definirla diciendo que: «Si una línea recta gira uniformemente alrededor de su extremo, un punto que a su vez se desplaza uniformemente a lo largo de ella describirá la espiral equable3». O, expresando lo mismo con nuestras palabras más modernas: «Si, mientras el radio vector gira uniformemente alrededor del polo, un punto (P) se desplaza con velocidad uniforme a lo largo de él, la curva descrita será la llamada espiral equable, o espiral de Arquímedes». {504}
Es evidente que la espiral de Arquímedes puede compararse a un cilindro enrollado. Y es evidente también que un radio (r =ã€₤OP), compuesto por las espiras sucesivas e iguales, aumentará en progresión aritmética: y equivaldrá a cierta cantidad constante (a) multiplicada por el número total de espiras, o (más estrictamente hablando) multiplicada por el ángulo total (ö¡) a través del cual ha girado: de modo que r =ã€₤aö¡.
Pero, en contraste con esto, en la espiral logarítmica del Nautilus o de la concha de caracol, las vueltas aumentan gradualmente de anchura, y lo hacen en una proporción constante e invariable. Nuestra definición es la siguiente: 〜Si, en lugar de desplazarse con una velocidad uniforme, nuestro punto se mueve a lo largo del radio vector con una velocidad que aumenta a medida que lo hace su distancia respecto al polo, entonces la trayectoria descrita se denomina espiral logarítmica.〠Cada vuelta que el radio vector intersecta será más ancha que la anterior en una proporción definida; el radio vector aumentará su longitud en progresión geométrica, a medida que barre ángulos iguales sucesivos; y la ecuación de la espiral será r =ã€₤aÿ£¢ö¡ã€₤. Así como la espiral de Arquímedes, en nuestro ejemplo de la cuerda enrollada, podría considerarse como un cilindro enrollado, también la espiral logarítmica, en el caso de la concha, puede imaginarse como un cono enrollado sobre sí mismo.