Ahora es evidente que si las vueltas aumentan con mucha lentitud, la espiral logarítmica llegará a parecerse a una espiral de Arquímedes, con la cual, sin embargo, nunca llega a ser idéntica; pues es incorrecto decir, como a veces se hace, que la espiral de Arquímedes es un «caso límite» de la espiral logarítmica. El numulites es un claro ejemplo. Aquí tenemos un gran número de vueltas, muy estrechas, muy juntas y aparentemente de igual anchura, que dan lugar a una apariencia similar a la de nuestra cuerda enrollada. Y, en un caso de este tipo, podríamos descubrir en realidad que las vueltas eran de igual anchura, producidas (como al parecer sucede en el numulites) no por un crecimiento muy lento y gradual en el grosor de un tubo continuo, sino por una sucesión de células o cámaras similares dispuestas una tras otra, vuelta tras vuelta, determinadas en cuanto a su tamaño por condiciones constantes de tensión superficial y, por tanto, de dimensiones invariables. Pero incluso en este caso no tendríamos una espiral de Arquímedes, sino solo una espiral logarítmica en la que el ángulo constante se aproximaba a 90°. {505}
For, in the logarithmic spiral, when öÝ tends to 90ô¯, the expression r =ã€₤aÿ£¢ö¡ã€₤cotã€₤öÝ tends to r =ã€₤a(1ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotã€₤öÝ); while the equation to the Archimedean spiral is r =ã€₤bö¡. The nummulite must always have a central core, or initial cell, around which the coil is not only wrapped, but out of which it springs; and this initial chamber corresponds to our aÿ£¢ã€ý in the expression r =ã€₤aÿ£¢ã€ýã€₤+ã€₤aö¡ã€₤cotã€₤öÝ. The outer whorls resemble those of an Archimedean spiral, because of the other term aö¡ã€₤cotã€₤öÝ in the same expression. It follows from this that in all such cases the whorls must be of excessively small breadth.
Hay muchas otras propiedades específicas de la espiral logarítmica, tan interrelacionadas entre sí que podemos elegir prácticamente cualquiera de ellas como base de nuestra definición y deducir las demás a partir de ella, ya sea mediante métodos analíticos o por los métodos de la geometría elemental. Por ejemplo, la ecuación r =ã€₤aÿ£¢ö¡ puede escribirse en la forma logã€₤r =ã€₤ö¡ã€₤logã€₤a, o ö¡ =ã€₤(logã€₤r)ã€₤ã „ã€₤(logã€₤a), o bien (puesto que a es una constante), ö¡ =ã€₤kã€₤logã€₤r. Lo cual equivale a decir que los ángulos vectores respecto al polo son proporcionales a los logaritmos de los radios sucesivos; circunstancia de la cual deriva el nombre de «espiral logarítmica».