La primera de estas dos proposiciones puede escribirse en lo que es, tal vez, una forma más simple, de la siguiente manera: los radios que forman ángulos iguales alrededor del polo de la espiral logarítmica, son a su vez proporcionales continuos. Es decir, en la Fig. 261, cuando el ángulo ROQ es igual al ángulo QOP, entonces ORã€₤:ã€₤OQã€₤::ã€₤OQã€₤:ã€₤OP.
Un caso particular de esta proposición se da cuando los ángulos iguales son cada uno ángulos de 360ô¯: es decir, cuando en cada caso el radio vector efectúa una revolución completa, y cuando, por lo tanto, P, Q y R se encuentran todos sobre el mismo radio.
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Fue observando, con la ayuda de una medición muy cuidadosa, esta continua proporcionalidad, como Moseley pudo verificar su primera suposición, basada en el aspecto general de la concha, de que la concha del Nautilus era en realidad una espiral logarítmica; demostración que inmediatamente después estuvo en condiciones de generalizar haciéndola extensible a todos los moluscos espirales amonitoideos y gasterópodos11.
Pues, tomando una sección transversal mediana de un Nautilus pompilius, y midiendo cuidadosamente las anchuras sucesivas de las vueltas (a partir de la línea oscura que marca la que originalmente era la superficie exterior, antes de ser cubierta por nuevos depósitos por parte de la concha en crecimiento y avance), Moseley halló que «la distancia de dos cualesquiera de sus vueltas medida sobre un radio vector es un tercio de la de las dos vueltas siguientes medida sobre el mismo radio vector12. Así (en la Fig. 262), ab es un tercio de bc, de de ef, gh de hi, y kl de lm. La curva es, por tanto, una espiral logarítmica».