La forma geométrica de la celda de la abeja debe haber atraído la atención y despertado la admiración de los matemáticos desde tiempos inmemoriales. Papo de Alejandría nos ha dejado (en la introducción al Quinto Libro de sus Colecciones) un relato de su diseño hexagonal, y extrajo de su simetría matemática {329} la conclusión de que las abejas estaban dotadas de razón: «Habiendo, por lo tanto, tres figuras que por sí mismas pueden llenar el espacio alrededor de un punto, a saber, el triángulo, el cuadrado y el hexágono, las abejas han seleccionado sabiamente para su estructura aquella que contiene más ángulos, sospechando en verdad que podía contener más miel que cualquiera de las otras dos». Erasmus Bartholinus fue aparentemente el primero en sugerir que esta hipótesis no estaba justificada, y que la forma hexagonal no era más que el resultado necesario de presiones iguales, esforzándose cada abeja por hacer su propio circulito lo más grande posible.
La inôÙvesôÙtiôÙgaôÙción de los extremos de la célula fue un asunto más difícil, y posterior, que el de sus lados. En términos generales, esta disposición fue sin duda estudiada y descrita a menudo: como, por ejemplo, en el Garden of Cyrus: 〜And the Combes themselves so regularly contrived that their mutual intersections make three Lozenges at the bottom of every Cell; which severally regarded make three Rows of neat Rhomboidall Figures, connected at the angles, and so continue three several chains throughout the whole comb.〠Pero Maraldi26 (sobrino de Cassini) fue el primero en medir el ángulo sólido terminal o en determinar la forma de los rombos en la terminación piramidal de la célula. Nos dice que los ángulos del rombo son de 110ô¯ y 70ô¯: 〜Chaque base d〙alvûˋole est formûˋe par trois rhombes presque toujours ûˋgaux et semblables, qui, suivant les mesures que nous avons prises, ont les deux angles obtus chacun de 110 degrûˋs, et par consûˋquent les deux aigus chacun de 70ô¯.〠También afirmó que los ángulos de los trapecios que forman los lados del cuerpo de la célula eran idénticos, de 110ô¯ y 70ô¯; pero en el mismo artículo habla de que los ángulos son, respectivamente, de 109ô¯ã€₤28ÿ£¢ã€ý y 70ô¯ã€₤32ÿ£¢ã€ý. Aquí surgió de inmediato una singular confusión, que se ha perpetuado en los libros27. 〜Por desgracia, Réaumur consideró esta segunda determinación de Maraldi como si fuera, al igual que la primera, el resultado directo de una medición, cuando en realidad es teórica. Se refiere a ella como la medición más precisa de Maraldi, y este error se ha repetido a pesar de su absurdo hasta el día de hoy; nadie {330} parece haber pensado en la imposibilidad de medir algo como el extremo de la célula de una abeja con una precisión de un minuto de arco.〠Sea como fuere, a Réaumur se le ocurrió entonces (cosa curiosa, pues no se le había ocurrido a Maraldi) que, así como los hexágonos apiñados ofrecían la extensión mínima de límite en un plano, la figura sólida real, tal como la determinó Maraldi, podría ser aquella que, para un contenido sólido dado, ofreciera el mínimo de superficie: o que, en otras palabras, contendría la mayor cantidad de miel con la menor cantidad de cera. Planteó este problema a Koenig, y el geómetra confirmó su conjetura; el resultado de sus cálculos coincidía dentro de un margen de dos minutos (109ô¯ã€₤26ÿ£¢ã€ý y 70ô¯ã€₤34ÿ£¢ã€ý) con la determinación de Maraldi. Pero, por otra parte, Maclaurin28 y Lhuilier29, mediante diferentes métodos, obtuvieron un resultado idéntico al de Maraldi, y pudieron demostrar que la discrepancia de 2ÿ£¢ã€ý se debía