tendremos una serie de pequeñas ondas u ondulaciones que comienzan a avanzar hacia el interior desde cada una de las tres caras; y el entrecruzamiento o la interferencia de estos tres conjuntos de ondas produce crestas y hondonadas, y puntos intermedios sin perturbación, cuyos lugares geométricos se ven como un hermoso patrón de diminutos hexágonos. Es posible que el patrón de hexágonos, diminuto y sorprendentemente regular, que vemos, por ejemplo, en la superficie de muchas diatomeas, pueda ser un fenómeno de este orden21. Lo mismo puede ocurrir también en Arcella, donde se descubre que un patrón aparentemente hexagonal no consta de hexágonos simples, sino de 〜líneas rectas en tres conjuntos de paralelas, cuyas líneas de cada conjunto forman un ángulo de sesenta grados con las de los otros dos conjuntosÿ£¢22.〠También debemos tener presente, en el caso de las formas más diminutas, las amplias posibilidades de ilusión óptica. Por ejemplo, en una de las 〜placas de difracción〠de Abbe, un patrón de puntos, dispuestos a intervalos iguales, se reproduce a una escala muy reducida mediante fotografía; pero bajo ciertas condiciones de iluminación y enfoque microscópicos, estos puntos aislados aparecen como un patrón de hexágonos.
Una disposición simétrica de hexágonos, como la que acabamos de estudiar, sugiere varios corolarios geométricos simples, de los cuales el siguiente puede ser quizás de utilidad.
A veces podemos desear estimar el número de áreas hexagonales o facetas en alguna estructura donde estas son numerosas, como por ejemplo la {324} córnea del ojo de un insecto, o en el minuto patrón de hexágonos en muchas diatomeas. Una aproximada enumeración se hace fácilmente de la siguiente manera.
Pues para el área de un hexágono (si llamamos öÇ al diámetro corto, a saber, el que biseca dos de los lados opuestos) es öÇÿ£¢2ã€₤û—ã€₤ã€₤(㈚ÿ£¢3)ã€₤ã „ã€₤2, siendo el área de un círculo dÿ£¢2ã€₤ôñã€₤ü€ã€₤ã „ã€₤4. Luego, si el diámetro (d) de un área circular incluye n hexágonos, el área de ese círculo es igual a (nã€₤ôñã€₤öÇ)ÿ£¢2ã€₤û—ã€₤ü€ã€₤ã „ã€₤4. Y, dividiendo este número por el área de un solo hexágono, obtenemos para el número de áreas en el círculo, cada una igual a una faceta hexagonal, la expresión nÿ£¢2ã€₤û—ã€₤ü€ã€₤ã „ã€₤4ã€₤û—ã€₤2ã€₤ã „ã€₤㈚ÿ£¢3 =ã€₤0ôñ907nÿ£¢2ã€₤, o (9ã€₤ã „ã€₤10)ã€₤ôñã€₤nÿ£¢2ã€₤, aproximadamente.
Este cálculo trata, no solo de las facetas completas, sino de las áreas de los hexágonos rotos en la periferia del círculo. Si descuidamos estos últimos, y consideramos que todo nuestro campo consiste en anillos sucesivos de hexágonos alrededor de uno central, podemos obtener una regla aún más simpleÿ£¢23.
Pues obvia y respectivamente, alrededor de nuestro hexágono central hay una zona de seis, y alrededor de estos una zona de doce, y alrededor de estos una zona de dieciocho, y así sucesivamente. Y el número total, excluyendo el hexágono central, es por consiguiente:
| Para una zona | 6 | =ã€₤2ã€₤û—ã€₤〇3 | =ã€₤3ã€₤û—ã€₤1ã€₤û—ã€₤2, |
|---|---|---|---|
| ô 〰ô two zones | 18 | =ã€₤3ã€₤û—ã€₤〇6 | =ã€₤3ã€₤û—ã€₤2ã€₤û—ã€₤3, |
| ô 〰ô three zones | 36 | =ã€₤4ã€₤û—ã€₤〇9 | =ã€₤3ã€₤û—ã€₤3ã€₤û—ã€₤4, |
| ô 〰ô four zones | 60 | =ã€₤5ã€₤û—ã€₤12 | =ã€₤3ã€₤û—ã€₤4ã€₤û—ã€₤5, |
| ô 〰ô five zones | 90 | =ã€₤6 x 15 | =ã€₤3ã€₤û—ã€₤5ã€₤û—ã€₤6, |
y así sucesivamente. Si N es el número de zonas, y si añadimos uno a los números anteriores para el hexágono central impar, la regla es evidentemente que el número total, H, =ã€₤3N(Nã€₤+ã€₤1)ã€₤+ã€₤1. Así, si en una preparación de la córnea de una mosca, puedo contar veinticinco facetas en una línea a partir de una central, el número total en todo el campo circular es (3ã€₤û—ã€₤25ã€₤û—ã€₤26)ã€₤+ã€₤1 =ã€₤195124.