En un teorema muy simple y hermoso, Galileo demostró que, si imaginamos varios planos inclinados, o canales, que descienden (en un plano vertical) en varios ángulos desde un punto de partida común, y si imaginamos varias bolas rodando cada una por su propio canal bajo la influencia de la gravedad (y sin impedimento por fricción), entonces, en un instante dado, el lugar geométrico de {563} todos estos cuerpos en movimiento es un círculo que pasa por el punto de origen.
Pues la aceleración a lo largo de cualquiera de las trayectorias inclinadas, por ejemplo AB (Fig. 287), es tal que
Por lo tanto
Es decir, todas las bolas llegan a la circunferencia del círculo en el mismo momento que la bola que cae verticalmente de A a C.
Donde, pues, como a menudo sucede, la curva generatriz de la concha es apôÙproxôÙiôÙmaôÙdaôÙmente un círculo que pasa por el punto de origen, podemos considerar que la aceleración del crecimiento a lo largo de varios radiales está regida por una simple ley matôÙemáôÙtiôÙca, estrechamente emparentada con esa sencilla ley de aceleración que rige los movimientos de un cuerpo en caída. Y, mutatis mutandis, una ley definida similar subyace a los casos en que la curva generatriz es continuamente elíptica, o en los que adopta alguna forma más compleja, pero aún regular y constante.
Es fácil extender la proposición al caso particular en que las líneas de crecimiento pueden considerarse elípticas. En tal caso tenemos xÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤aÿ£¢2ã€₤+ã€₤yÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤bÿ£¢2 =ã€₤1, donde a y b son los ejes mayor y menor de la elipse.
O, cambiando el origen al vértice de la figura, se obtiene
Luego, pasando a coordenadas polares, donde rã€₤ôñã€₤cosã€₤ö¡ =ã€₤x, rã€₤ôñã€₤sinã€₤ö¡ =ã€₤y, tenemos lo cual es equivalente a o, eliminando la función seno,