Poniendo la misma tabla a la inversa, de modo que se muestre la longitud {552} total en números enteros, en términos del radio, tenemos lo siguiente:
| Longitud total (en términos del radio) | Ángulo constante |
|---|---|
| ○○○○〈2 | 60ô¯ô 〇〇〈ô 〇〇〈 |
| ○○○○〈3 | 70〈ô 31ÿ£¢ã€ýô 〇〇〈 |
| ○○○○〈4 | 75〈ô 32〈ô 〇〇〈 |
| 〇〇〇〇〈5 | 78〈ô 28〈ô 〇〇〈 |
| ◯◯◯〈10 | 84〈ô 16〈ô 〇〇〈 |
| XXX⟨20 | 87〈ô 〇8〈ô 〇〇〈 |
| 〇〇〇〈30 | 88〈ô 〇6〈ô 〇〇〈 |
| XXX⟨40 | 88〈ô 34〈ô 〇〇〈 |
| ○○○〈50 | 88〈ô 51〈ô 〇〇〈 |
| 〇〇〈100 | 89〈ô 26〈ô 〇〇〈 |
| 〇〈1000 | 89〈ô 56ÿ£¢ã€ýô 36ÿ£¢ã€° |
| 10.000 | 89〈ô 59〈ô 30〈 |
Por consiguiente, vemos que (1), cuando el ángulo constante de la espiral es pequeño, la espiral misma apenas se distingue de una línea recta, y su longitud es apenas un poco mayor que la de su propio radio vector. Esto sigue siendo así en gran medida para un aumento considerable del ángulo, digamos de 0ô¯ a 20ô¯ o más; (2) para un aumento mucho más considerable del ángulo constante, digamos a 50ô¯ o más, la concha solo tendría la apariencia de una curva suave; (3) las carôÙacôÙterôÙísôÙtiôÙcas espirales apretadas del Nautilus o del Ammonite solo estarían representadas típicamente cuando el ángulo constante se sitúa a pocos grados a uno u otro lado de unos 80ô¯. La espiral enrollada de un Nautilus, con un ángulo constante de unos 80ô¯, tiene aproximadamente seis veces la longitud de su radio vector, o algo más de tres veces su propio diámetro; mientras que la de un Ammonite, con un ángulo constante de, digamos, 85ô¯ a 88ô¯, mide desde unas seis hasta quince veces la longitud de su propio diámetro. Y (4) a medida que nos acercamos a un ángulo de 90ô¯ (punto en el cual la espiral se desvanece en un círculo), la longitud de la espiral aumenta con enorme rapidez. Nuestra espiral pronto adquiriría la apariencia de las vueltas cerradas de un Nummulite, y los incrementos sucesivos de anchura en las vueltas sucesivas se volverían imperceptibles a la vista. La espiral logarítmica de gran ángulo constante tendería, como ya hemos visto, a volverse inôÙdisôÙtinôÙguiôÙble, sin la medición más cuidadosa, de una espiral de Arquímedes. Y es obvio, además, que nuestros métodos ordinarios para {553} determinar el ángulo constante de la espiral no serían en estos casos lo suficientemente precisos como para permitirnos medir la longitud de la espiral: tendríamos que idear un nuevo método, basado en la medición de radios o diámetros en un gran número de vueltas.
La forma geométrica de la concha entraña muchas otras propiedades hermosas, de gran interés para el matemático, pero que no es posible reducir a expresiones tan simples como las que nos hemos conformado con utilizar. Por ejemplo, podemos obtener una ecuación que exprese por completo la superficie de cualquier concha, en función de coordenadas polares o rectangulares (como lo han hecho Moseley y Blake), o en