de las cabras monteses grandes, como la cabra montés de Sind, tenemos una hermosa espiral logarítmica, con un ángulo constante algo inferior a los 70°; y podemos disponer fácilmente una serie de formas, tales como, por ejemplo, la cabra montés siberiana, el muflón, el Ovis Ammon, etc., culminando en el carnero de las Tierras Altas de cuernos largos: en los cuales, al pasar de una a otra, reconocemos espirales estrictamente homólogas, con una constante angular creciente, siendo el ángulo espiral, por ejemplo, de unos 75° o algo menos en el Ovis Ammon, y un tantito mayor en el carnero de las Tierras Altas. Ya hemos visto que en las proximidades de los 70° u 80° un pequeño cambio en el ángulo produce una diferencia notable en la apariencia de la espira; y sabemos también que la longitud real del cuerno marca una diferencia sumamente llamativa, pues la espiral se vuelve especialmente perceptible a la vista cuando un cuerno o una concha son lo suficientemente largos como para mostrar varias vueltas, o al menos una parte considerable de una vuelta entera.
Even in the simplest cases, such as the wild goats, the spiral is never (strictly speaking) a plane or discoid spiral: but in greater or less degree there is always superposed upon the plane logarithmic spiral a helical spiral in space.
Sometimes the latter is scarcely apparent, for the helical curvature is comparatively small, and the horn (though long, as in the said wild goats) is not nearly long enough to shew a complete convolution: at other times, as in the ram, and still better in many antelopes, such as the koodoo, the helicoid or corkscrew curve of the horn is its most charôÙacôÙterôÙisôÙtic feature.
Por consiguiente, podemos estudiar, al igual que en la concha de los moluscos, el componente helicoidal de la espira〔en otras palabras, la variación de lo que hemos llamado (en la p. 555) el ángulo ö¡. Este factor es el que, más que el ángulo constante de la espiral logarítmica, confiere un aspecto charôÙacôÙterôÙisôÙtiôÙco a las diversas especies de ovejas, por ejemplo, a las diversas especies estrechamente emparentadas de ovejas silvestres asiáticas, o argalíes. En todas ellas, el ángulo constante de la espiral logarítmica es prácticamente el mismo, pero el componente de cizalladura difiere considerablemente. Y así, los cuernos alargados de {618} Ovis Poli, de cuatro pies o más de distancia entre las puntas, se diferencian conspicuamente de los del Ovis Ammon o O. hodgsoni, en los cuales una espiral logarítmica muy similar se arrolla (por decirlo así) alrededor de un cono mucho más obtuso.
El cuerno del carnero, pues, al igual que la concha del caracol, es una curva de doble curvatura, en la cual un componente ha impuesto a la estructura una espiral logarítmica plana, y el otro ha producido un desplazamiento continuo, o «corte», proporcional en magnitud y perpendicular o inclinado de otro modo con respecto al eje de la curvatura espiral anterior. El resultado es precisamente análogo al que hemos estudiado en el caracol y otros univalvos en espiral; pero si bien la forma, y por tanto las fuerzas resultantes, son similares, la distribución original de la fuerza no es la misma: pues no tenemos aquí, como teníamos en la concha del caracol, un músculo «columelar» que introduzca el componente que actúa en la dirección del eje. Tenemos, es cierto, el núcleo óseo central, que en parte desempeña una función análoga; pero el fenómeno principal aquí es aparentemente una distribución compleja de tasas de crecimiento, perpendicular al plano de la curva generatriz.
Sigamos prescindiendo de las matemáticas, pues el tratamiento matôÙeôÙmâÅtôÙiôÙco de una curva de doble curvatura nunca es muy simple, y tratemos el asunto de forma experimental. Hemos visto que la curva generatriz, o sección transversal, de un típico cuerno de carnero tiene forma triangular. Midiendo (a lo largo