CAPÍTULO VIII LAS FORMAS DE LOS TEJIDOS O AGREGADOS CELULARES (continuación)
del cuadrante.
(1) Trásese OP; asimismo PC como tangente, que corta a OA en C; y PN, perpendicular a OA. Llamemos a al radio; y a ö¡ el ángulo en C, que es obviamente igual a OPN o POB. Entonces CP =ã€₤aã€₤cotã€₤ö¡;ô ô ô ô PN =ã€₤aã€₤cosã€₤ö¡; NC =ã€₤CPã€₤cosã€₤ö¡ =ã€₤aã€₤ôñã€₤(cosÿ£¢2ã€₤ö¡)ã€₤ã „ã€₤(sinã€₤ö¡). El área de la porción PMN =ã€₤ô§ã€₤Cã€₤Pÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤ô§ã€₤PNã€₤ôñã€₤NC =ã€₤ô§ã€₤aÿ£¢2ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ ㈒ã€₤ô§ã€₤aã€₤cosã€₤ö¡ã€₤ôñã€₤aã€₤cosÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤ã „ã€₤sinã€₤ö¡ =ã€₤ô§ã€₤aÿ£¢2(cotÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤cosÿ£¢3ã€₤ö¡ã€₤ã€₤ã „ã€₤sinã€₤ö¡). dmaths {361} Y el área de la porción PNA =ã€₤ô§ã€₤aÿ£¢2(ü€ã€₤ã „ã€₤2ã€₤㈒ã€₤ö¡)ã€₤㈒ã€₤ô§ã€₤ONã€₤ôñã€₤NP =ã€₤ô§ã€₤aÿ£¢2(ü€ã€₤ã „ã€₤2 ㈒ã€₤ö¡) ㈒ã€₤ô§ã€₤aã€₤sinã€₤ö¡ã€₤ôñã€₤aã€₤cosã€₤ö¡ =ã€₤ô§ã€₤aÿ£¢2(ü€ã€₤ã „ã€₤2ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤sinã€₤ö¡ã€₤ôñã€₤cosã€₤ö¡). Por tanto, el área de toda la porción PMA =ã€₤aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤2ã€₤(ü€ã€₤ã „ã€₤2ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ ㈒ã€₤cosÿ£¢3ã€₤ö¡ã€₤ã „ã€₤sinã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤sinã€₤ö¡ã€₤ôñã€₤cosã€₤ö¡) =ã€₤aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤2ã€₤(ü€ã€₤ã „ã€₤2ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤cotã€₤ö¡), y también, por hipótesis, =ã€₤ô§ã€₤ôñã€₤área del cuadrante, =ã€₤ü€ã€₤aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤8. dmaths Fig. 146. De aquí que ö¡ quede definido por la ecuación aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤2ã€₤(ü€ã€₤ã „ã€₤2ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤cotã€₤ö¡) =ã€₤ü€ã€₤aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤8, o ã€₤ü€ã€₤ã „ã€₤4ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤cotã€₤ö¡ =ã€₤0. dmaths Podemos resolver esta ecuación construyendo una tabla (de la cual la siguiente es una pequeña porción) para varios valores de ö¡. ö¡ ü€ã€₤ã „ã€₤4 ㈒ã€₤ö¡ ㈒ã€₤cotã€₤ö¡ +ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ =ã€₤x 34ô¯ã€₤34ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ㈒ã€₤ôñ6033 ㈒ã€₤1ôñ4514 +ã€₤1ôñ2709 =ô 〈ôñ0016 〇〇〈ã€₤35ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6036 1ôñ4505 1ôñ2700 ôñ0013 〇〇〈ã€₤36ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6039 1ôñ4496 1ôñ2690 ôñ0009 〇〇〈ã€₤37ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6042 1ôñ4487 1ôñ2680 ôñ0005 〇〇〈ã€₤38ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6045 1ôñ4478 1ôñ2671 ôñ0002 〇〇〈ã€₤39ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6048 1ôñ4469 1ôñ2661 ㈒〇ôñ0002 〇〇〈ã€₤40ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6051 1ôñ4460 1ôñ2652 ㈒〇ôñ0005 dtblboxsection {362} Vemos por consiguiente que la ecuación se resuelve (con tanta precisión como sea necesario) cuando ö¡ es un ángulo algo superior a 34ô¯ã€₤38ÿ£¢ã€ý, o digamos 34ô¯ã€₤38ô§ÿ£¢ã€ý. Es decir, un cuadrante de círculo queda bisecado por un arco circular que corta al lado y a la periferia del cuadrante en ángulo recto, cuando el arco es tal que abarca (90ô¯ã€₤㈒ã€₤34ô¯ã€₤38ÿ£¢ã€ý), es decir, 55ô¯ã€₤22ÿ£¢ã€ý del arco del cuadrante. Esta determinación nuestra es prácticamente idéntica a la a la que llegó Berthold mediante un método expeditivo, sin el uso de matemáticas. Él simplemente probó varias maneras de dividir un cuadrante de papel mediante un arco circular, y continuó haciéndolo hasta que obtuvo los pesos de sus dos trozos de papel aproximadamente iguales. El ángulo, tal como lo determinó así, fue de 34ôñ6ô¯, o digamos 34ô¯ã€₤36ÿ£¢ã€ý.
Fig. 146. De aquí que ö¡ quede definido por la ecuación aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤2ã€₤(ü€ã€₤ã „ã€₤2ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤cotã€₤ö¡) =ã€₤ü€ã€₤aÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤8, o ã€₤ü€ã€₤ã „ã€₤4ã€₤㈒ã€₤ö¡ã€₤+ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ã€₤㈒ã€₤cotã€₤ö¡ =ã€₤0. dmaths Podemos resolver esta ecuación construyendo una tabla (de la cual la siguiente es una pequeña porción) para varios valores de ö¡. ö¡ ü€ã€₤ã „ã€₤4 ㈒ã€₤ö¡ ㈒ã€₤cotã€₤ö¡ +ã€₤ö¡ã€₤cotÿ£¢2ã€₤ö¡ =ã€₤x 34ô¯ã€₤34ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ㈒ã€₤ôñ6033 ㈒ã€₤1ôñ4514 +ã€₤1ôñ2709 =ô 〈ôñ0016 〇〇〈ã€₤35ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6036 1ôñ4505 1ôñ2700 ôñ0013 〇〇〈ã€₤36ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6039 1ôñ4496 1ôñ2690 ôñ0009 〇〇〈ã€₤37ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6042 1ôñ4487 1ôñ2680 ôñ0005 〇〇〈ã€₤38ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6045 1ôñ4478 1ôñ2671 ôñ0002 〇〇〈ã€₤39ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6048 1ôñ4469 1ôñ2661 ㈒〇ôñ0002 〇〇〈ã€₤40ÿ£¢ã€ý ôñ7854 ôñ6051 1ôñ4460 1ôñ2652 ㈒〇ôñ0005 dtblboxsection {362} Vemos por consiguiente que la ecuación se resuelve (con tanta precisión como sea necesario) cuando ö¡ es un ángulo algo superior a 34ô¯ã€₤38ÿ£¢ã€ý, o digamos 34ô¯ã€₤38ô§ÿ£¢ã€ý. Es decir, un cuadrante de círculo queda bisecado por un arco circular que corta al lado y a la periferia del cuadrante en ángulo recto, cuando el arco es tal que abarca (90ô¯ã€₤㈒ã€₤34ô¯ã€₤38ÿ£¢ã€ý), es decir, 55ô¯ã€₤22ÿ£¢ã€ý del arco del cuadrante. Esta determinación nuestra es prácticamente idéntica a la a la que llegó Berthold mediante un método expeditivo, sin el uso de matemáticas. Él simplemente probó varias maneras de dividir un cuadrante de papel mediante un arco circular, y continuó haciéndolo hasta que obtuvo los pesos de sus dos trozos de papel aproximadamente iguales. El ángulo, tal como lo determinó así, fue de 34ôñ6ô¯, o digamos 34ô¯ã€₤36ÿ£¢ã€ý.