- Ya hemos observado (66) que un número multiplicado por sí mismo produce lo que se llama el cuadrado de ese número. Así, 169, o 13 × 13, es el cuadrado de 13. Por el contrario, a 13 se le llama la raíz cuadrada de 169, y 5 es la raíz cuadrada de 25; y cualquier número es la raíz cuadrada de otro cuando, al multiplicarlo por sí mismo, produce ese otro. La raíz cuadrada se indica con el signo
√ o √ ;
así, √25 significa la raíz cuadrada de 25, o 5; √16 + 9 significa la raíz cuadrada de 16 + 9, y es 5, y no debe confundirse con √16 + √9, que es 4 + 3, o 7.
- Las siguientes ecuaciones son evidentes a partir de la definición:
√a × √a = a
√aa = a
√ab × √ab = ab
(√a × √b) × (√a × √b) = √a × √a × √b × √b = ab de donde
√a × √b = √ab
- No se sigue que un número tenga raíz cuadrada por el hecho de tener un cuadrado; así, aunque 5 puede multiplicarse por sí mismo, no hay ningún número que, multiplicado por sí mismo, produzca 5. Está demostrado en álgebra que ninguna fracción1 multiplicada por sí misma puede producir un número entero, lo cual puede comprobarse en multitud de casos; por tanto, 5 no tiene raíz cuadrada entera ni fraccionaria; es decir, no tiene raíz cuadrada en absoluto.
Sin embargo, existen métodos para hallar fracciones cuyos cuadrados estén tan cerca de 5 como queramos, aunque no sean exactamente iguales a él. Uno de estos métodos da ¹⁵¹²⁷/₆₇₆₅, cuyo cuadrado, a saber
| 15127 | × | 15127 | o | 228826129 | , |
|---|---|---|---|---|---|
| 6765 | 6765 | 45765225 |
difiere de 5 en solo ⁴/₄₅₇₆₅₂₂₅, que es menor que ·0000001: de aquí que podamos usar √5 en el razonamiento aritmético y algebraico; pero cuando llegamos a la práctica de cualquier problema, debemos sustituir √5 por una de las fracciones cuyo cuadrado sea cercano a 5, y del grado de exactitud que deseemos depende qué fracción ha de usarse. Para algunos propósitos, ¹²³/₅₅ puede ser suficiente, ya que su cuadrado solo difiere de 5 en ⁴/₃₀₂₅; para otros, la fracción dada primero podría ser necesaria, o una cuyo cuadrado esté aún más cerca de 5. Pasamos a mostrar cómo hallar la raíz cuadrada de un número, cuando la tiene, y a partir de ahí cómo hallar fracciones cuyos cuadrados estén tan cerca como queramos del número, cuando no la tiene.