Apéndice X. Sobre las combinaciones.

Si, antes de hacer las adiciones, siempre hubiéramos multiplicado por a, habríamos obtenido los diversos componentes de las potencias de 1 + a, así,

1	0	0	0	0
1	a	a ²	a ³	a ⁴
1	2 a	3 a ²	4 a ³
1	3 a	6 a ²
1	4 a
1

donde las columnas oblicuas 1 + a, 1 + 2a + a², 1 + 3a + 3a² + a³, &c., dan las distintas potencias de 1 + a.

Si en lugar de empezar con 1, 0, 0, &c. hubiésemos empezado con p, 0, 0, &c. habríamos obtenido p, p × 4a, p × 6a², &c. en la parte inferior de las distintas columnas; y si hubiésemos escrito en la parte superior x⁴, x³, x², x, 1, habríamos tenido todos los elementos para formar p(x + a)⁴ multiplicando entre sí los términos de la parte superior e inferior de cada columna, y sumando los resultados.

Supongamos que seguimos este modo de formar p(x + a)³ + q(x + a)² + r(x + a) + s.

x ³	x ²	x	1		x ²	x	1		x
p	0	0	0	q	0	0	r	0	1
p	papá	pa ²	pa ³	q	¿Qué tal?	qa ²	r	ra
p	2 pa	3 pa ²		q	2 qa		r
p	3 pa			q
p

px³ + 3pax² + 3pa²x + pa³ + qx² + 2qax + qa² + rx + ra + s

= px³ + (3pa + q)x² + (3pa² + 2qa + r)x + pa³ + qa² + ra + s

Ahora, obsérvese que todo esto podría hacerse en una sola operación, introduciendo q, r y s bajo sus respectivas potencias de x en la primera operación, de la siguiente manera

x ³	x ²		x
p	q	r	s
p	pa + q	pa ² + qa + r	pa ³ + qa ² + ra + s
p	2 pa + q	3 pa ² + 2 qa + r
p	3 pa + q
p

Este proceso¹ es el que se emplea en el Apéndice XI., con la ligera modificación de variar el signo de la última letra y realizar sustracciones en lugar de adiciones en la última columna. Tal como está, es el modo más conveniente de escribir x + a en lugar de x en una gran clase de expresiones algebraicas. Por ejemplo, ¿en qué se convierte 2x⁵ + x⁴ + 3x² + 7x + 9 cuando se escribe x + 5 en lugar de x? La expresión, completada, es,

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