al producto completo anterior, o respecto al número dado mismo.
El número de divisores que el número precedente aαbᵝcᵞ ... puede tener, incluidos el 0 y el propio número, es (α + 1)(β+ 1)(γ + 1).... En cuanto a aα, tiene como divisores 1, a, a² ... aα y ningunos otros, α + 1 en total. De manera similar, bᵝ tiene β+ 1 divisores, y así sucesivamente. Ahora bien, como todos los divisores se forman multiplicando entre sí uno de cada conjunto, su número (página 202) es (α + 1)(β + 1)(γ+ 1)....
Si un número, n, es divisible por ciertos números primos, digamos 3, 5, 7, 11, entonces la tercera parte de todos los números hasta n es divisible por 3, la quinta parte por 5, y así sucesivamente. Pero más que esto: cuando se omiten los múltiplos de 3, exactamente la quinta parte de aquellos que quedan es divisible por 5; pues la quinta parte del total es divisible por 5, y la quinta parte de aquellos que se eliminan es divisible por 5, por lo tanto, la quinta parte de aquellos que quedan es divisible por 5. De nuevo, dado que la séptima parte del total es divisible por 7, y la séptima parte de aquellos que son divisibles por 3, o por 5, o por 15, se sigue que cuando se eliminan todos aquellos que son múltiplos de 3 o de 5, o de ambos, la séptima parte de aquellos que quedan es divisible por 7; y así sucesivamente.
De ahí que el número de números que no exceden a n, que no son divisibles por 3, 5, 7 u 11, sea ¹⁰/₁₁ de ⁶/₇ de ⁴/₅ de ²/₃ de n. Procediendo de este modo, hallamos que el número de números que son primos con n, es decir, que no son divisibles por ninguno de sus factores primos, a, b, c, ... es
| n | a -1 | b - 1 | c - 1 | ... | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| a | b | c |