La regla dada en este capítulo se incluye debido a su excelencia como ejercicio de cálculo. Los ejemplos elegidos requerirán poco uso de signos algebraicos, para que puedan ser entendidos por quienes no saben más de álgebra de lo que se contiene en la presente obra.
Para resolver una ecuación como
2x⁴ + x² - 3x = 416793, o, como se escribe habitualmente,
2x⁴ + 0x³ + x² - 3x - 416793 = 0, we must first ascertain by trial not only the first figure of the root, but also the denomination of it: if it be a 2, for instance, we must know whether it be 2, or 20, or 200, &c., or ·2, or ·02, or ·002, &c.
This must be found by trial; and the shortest way of making the trial is as follows: Write the expression in its complete form. In the preceding case the form is not complete, and the complete form is
2x⁴ + 0x³ + 1x² - 3x - 416793.
Para encontrar qué es esto cuando es cualquier número, por ejemplo, 3000, la mejor manera es tomar el primer multiplicador (2), multiplicarlo por 3000, e incorporar el siguiente multiplicador (0), multiplicar el resultado por 3000, e incorporar el siguiente multiplicador (1), y así sucesivamente hasta el final, de la siguiente manera:
2 × 3000 + 0 = 6000; 6000 × 3000 + 1 = 18000001
18000001 × 3000 - 3 = 54000002997
54000002997 × 3000 - 416793 = 162000008574207
Ahora pruebe el valor de lo anterior cuando x = 30. Tenemos entonces, para los pasos, 60 (2 × 30 + 0), 1801, 54027 y, por último,
1620810 - 416793, o x = 30 hace que los primeros términos sean mayores que 416793. Ahora prueba con x = 20, lo que da 40, 801, 16017 y, por último,
320340 - 416793, o x = 20 hace que los primeros términos sean menores que 416793. Entre 20 y 30, por lo tanto, debe haber un valor de x que haga que 2x⁴ + x²-3x sea igual a 416793. Y este es el paso preliminar del proceso.
Habiendo llegado hasta aquí, escribid los coeficientes +2, 0, +1, -3 y -416793, cada uno con su signo algebraico propio, excepto el último, en el cual ha de cambiarse el signo. Esta es la manera más conveniente cuando el último signo es -. Pero si el último signo es +, puede ser más conveniente dejarlo estar y cambiar todos los que le preceden. Así, al resolver x³ - 12x + 1 = 0, podríamos escribir