0ₙ y nₙ ambos son 1; pues no hay más que una forma de tomar ninguno, y una sola forma de tomar todo. Y de nuevo mₙ y (n-m)ₙ son la misma cosa. Y si m es mayor que n, mₙ es 0; pues no hay formas de hacerlo. Hacemos que uno de nuestros resultados precedentes sea más simétrico si lo escribimos así,
2ⁿ = 0ₙ + 1ₙ + 2ₙ + ... + nₙ
Si ahora escribimos la tabla de símbolos en la cual el (m + 1)-ésimo
| 0 | 1 | 2 | 3 | &c. | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0₁ | 1₁ | 2₁ | 3₁, | &c. |
| 2 | 0₂ | 1₂ | 2₂ | 3₂, | &c. |
| 3 | 0₃ | 1₃ | 2₃ | 3₃, | &c. |
| &c. | &c. | &c. | &c. | &c. |
número de la fila n-ésima representa mₙ, el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n, vemos demostrado arriba que la ley de formación de esta tabla es la siguiente:
Cada número ha de ser la suma del número situado encima de él y del número que precede al número situado encima de él.
Ahora bien, la primera fila debe ser 1, 1, 0, 0, 0, etc., y la primera columna debe ser 1, 1, 1, 1, etc., de modo que tenemos una tabla del siguiente tipo, que puede prolongarse tanto como se quiera:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | 0 | 0 |
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | 0 |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Así, en la fila 9, bajo la columna encabezada por el 4, vemos 126, que es 9 × 8 × 7 × 6 ÷ (1 × 2 × 3 × 4), el número de formas en que se pueden elegir 4 elementos entre 9, lo cual representamos como 4-{9}.
Si sumamos las sucesivas filas, tenemos 1 + 1 o 2, 1 + 2 + 1 o 2², luego 1 + 3 + 3 + 1 o 2³, etc., lo que verifica un teorema ya anunciado; y la ley de formación nos muestra que las sucesivas columnas se forman así:
| 1 1 | 1 2 1 | 1 3 3 1 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 1 | 1 2 1 | 1 3 3 1 | |||
| 1 2 1 | 1 3 3 1 | 1 4 6 4 1 | , &c. |