Prop. 1. Si una fracción se reduce a sus términos mínimos, así llamados,1 esto es, si ni el numerador ni el denominador son divisibles por ningún entero mayor que la unidad, entonces ninguna fracción con un numerador y un denominador menores puede tener el mismo valor.
Sean a/b una fracción en la que a y b no tienen ninguna medida común mayor que la unidad; y, si es posible, sea c/d una fracción del mismo valor, siendo c menor que a, y d menor que b. Ahora bien, puesto que
| a | = | c | tenemos | a | = | b | ; |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| b | d | c | d |
sea m el cociente entero de estas últimas fracciones (el cual debe existir, puesto que a > c, b > d), y sean e y f los residuos. Entonces
| a | o | mc + e | = | c | = | mc |
|---|---|---|---|---|---|---|
| b | md + f | d | md |
Por consiguiente,
| e | y | mc | debe ser igual, pues de no serlo, |
|---|---|---|---|
| f | md |
| mc + e | se encontraría entre | mc | y | e | , |
|---|---|---|---|---|---|
| md + f | md | f |
en lugar de ser igual a la anterior. Por consiguiente,
| a | = | e | ; |
|---|---|---|---|
| b | f |
de modo que si una fracción cuyo numerador y denominador no tienen mayor medida común que la unidad, es igual a una fracción de menor numerador y denominador, es igual a otra en la que el numerador y el denominador son aún menores. Si procedemos con
| a | = | e | De manera similar, encontramos |
|---|---|---|---|
| b | f |
| a | = | g | donde g < e , h < f , |
|---|---|---|---|
| b | h |
y así sucesivamente. Ahora bien, si existe algún proceso que disminuya perpetuamente los términos de una fracción en una o más unidades en cada paso, este debe eventualmente reducir el numerador o el denominador, o ambos, a 0. Sea