Nuevamente, dos veces el término medio, o el término igualmente distante del principio y del fin (el cual solo existe cuando el número de términos es impar), es igual a la suma del primero y del último término; pues como c está tan por debajo de d como e está por encima de este, tenemos c + e = d + d = 2d. Pero c + e = a + g; por tanto, a + g = 2d.

Esto dará una regla breve para hallar la suma de cualquier número de términos de una progresión aritmética.

Sean 7, a saber, los que acaban de darse. Puesto que a + g, b + f y c + e son iguales, su suma es tres veces (a + g), lo cual con d, el término medio, o la mitad de a + g, es tres veces y media (a + g), o la suma del primero y del último términos multiplicada por (3½), o ⁷/₂, o la mitad del número de términos.

Si hubiera habido un número par de términos, por ejemplo, seis, a saber, a, b, c, d, e y f, sabemos ahora que a + f, b + e y c + d son iguales, de donde la suma es tres veces (a + f), o la suma del primero y el último términos multiplicada por la mitad del número de términos, como antes.

La regla, por lo tanto, es: Para sumar cualquier número de términos de una progresión aritmética, multiplíquese la suma del primer y el último término por la mitad del número de términos.

Por ejemplo, ¿cuántos suman 99 términos de la serie 1, 2, 3, etc.? El término 99.º es 99, y la suma es

La suma de 50 términos de la serie

o 17 × 25, o 425.

173. Dado el primer término, así como la diferencia común y el número de términos, el último término se puede encontrar sumando al primer término la diferencia común multiplicada por uno menos el número de términos.

Pues es evidente que el segundo término difiere del primero en la diferencia común; el tercer término, en el doble; el cuarto término, en el triple de la diferencia común; y así sucesivamente. O bien, el paso del primero al término n-ésimo se realiza mediante n-1 pasos, en cada uno de los cuales se suma la diferencia común.

EJERCICIOS.