- 10 entre 17, cociente 0, resto 10; * 10² entre 17, cociente 05, resto 15; * 10³ entre 17, cociente 058, resto 14; y así sucesivamente. Parece manifestarse así que 10¹⁶ entre 17 deja un resto de 1, lo cual está de acuerdo
Si multiplicamos 0588, &c. por cualquier número menor que 17, se obtiene el mismo ciclo con un principio diferente. Así, si multiplicamos por 13, tenemos
7647058823529411 comenzando con lo que sigue al resto 13 en el primer número. Si multiplicamos por 7, tenemos 4117, &c. La razón es obvia: ¹/₁₇ × 13, o ¹³/₁₇, al convertirse en una fracción decimal, comienza con el divisor 130, y procedemos tal como lo hacemos al formar ¹/₁₇, cuando estamos a cuatro cifras del final del ciclo.
También se verá que, en la última mitad del periodo, las cifras del cociente son complementos a 9 de las de la primera mitad, y que los residuos son complementos a 17. Así, en , etc. y , etc., vemos , , , etc., y , , , etc.
Podemos demostrar la necesidad de esto del siguiente modo: Si el residuo 1 no aparece nunca hasta que llegamos a usar aᵇ⁻¹, entonces, siendo b primo, b-1 es par; sea este 2k. En consecuencia, a²ᵏ-1 es divisible por b; pero este es el producto de aᵏ-1 y aᵏ + 1, uno de los cuales debe ser divisible por b. No puede ser aᵏ - 1, pues entonces una potencia de a anterior a la (b - 1)-ésima dejaría residuo 1, lo cual no ocurre en nuestro caso: debe ser entonces aᵏ + 1, de modo que aᵏ dividido por b deja un residuo
b-1; y el paso k-ésimo concluye la primera mitad del proceso. En consecuencia, en nuestro ejemplo, vemos, siendo b 17 y a 10, que el resto 16 aparece en el 8.° paso del proceso. En el paso siguiente, el resto es el obtenido por 10(b-1), o 9b + b - 10, lo que da el resto b-10.
Pero el primer resto de todos fue 10, y 10 + (b - 10) = b. Si alguna vez este carácter complementario ocurre en cualquier paso, debe continuar, lo cual demostramos como sigue:
Sea r un resto, y b - r un resto subsiguiente, cuya suma es b. En el paso siguiente al primer resto, dividimos 10r entre b, y, en el paso siguiente al segundo resto, dividimos 10b - 10r entre b. Ahora bien, puesto que la suma de 10r y 10b - 10r es divisible por b, los dos restos de estos nuevos pasos deben ser tales que, sumados, den b, y así sucesivamente; y los cocientes sumados deben dar 9, pues la suma de los restos 10r y 10b - 10r produce un cociente de 10, del cual los dos restos dan 1.
Si se toman ¹/₅₉ y ¹/₆₁, se encontrará que las partes periódicas contienen 58 y 60 cifras. De estas escribimos solamente las primeras mitades, ya que el lector puede suministrar el resto mediante la propiedad complementaria recién dada.
01694915254237288135593220338, &c.
016393442622950819672131147540, &c.