de modo que la suma de cada fila debe ser el doble de la suma de la precedente. Pero podemos llevar las consecuencias de este modo de formación más lejos. Si obtenemos las potencias de 1 + x mediante multiplicación algebraica real, vemos que el proceso realiza la misma adición oblicua en la formación de los multiplicadores numéricos de las potencias de x.
- 1 + x
- 1 + x
- 1 + x
- x + x²
- 1 + 2x + x²
- 1 + 2x + x²
- 1 + x
- 1 + 2x + x²
- x + 2x² + x³
- 1 + 3x + 3x² + x³
Aquí están la segunda y tercera potencias de 1 + x: la cuarta, podemos saberla de antemano a partir de la tabla, debe ser 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴; y así sucesivamente.
De ahí que tengamos
(1 + x)ⁿ = 0ₙ + 1ₙx + 2ₙx² + 3ₙx³ + ... + nₙxⁿ que suele escribirse con los símbolos 0ₙ, 1ₙ, etc., desarrollados de este modo,
| (1 + x )ⁿ = 1 + nx + n | n - 1 | x ² + n | n - 1 | n - 2 | x ³ + &c. | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 3 |
Este es el caso más simple de lo que en álgebra se llama el teorema del binomio. Si en lugar de 1 + x usamos x + a, obtenemos (x + a)ⁿ = xⁿ + 1ₙaxⁿ⁻¹ + 2ₙa²xⁿ⁻² + 3ₙa³xⁿ⁻³ + ... + nₙaⁿ
Podemos hacer la misma tabla de otra forma. Si tomamos una fila de cifras que comienza con la unidad, y anotando la primera, sumamos la siguiente, y luego la siguiente, y así sucesivamente, y luego repetimos el proceso con un paso menos, y luego otra vez con un paso menos, tenemos lo siguiente:
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | ||
| 1 | 4 | 10 | 20 | |||
| 1 | 5 | 15 | ||||
| 1 | 6 | |||||
| 1 |
En las columnas oblicuas vemos 1 1, 1 2 1, 1 3 3 1, etc., lo mismo que en la tabla original, y formadas por las mismas adiciones.