Porque, si escribimos la proporción dos veces, así,
| a | : | b | ∷ | c | : | d | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | : | b | ∷ | c | : | d | |
| por (187) | aa | : | bb | ∷ | cc | : | dd |
| Pero | a | : | b | ∷ | c | : | d |
| ¿De dónde (187) | aaa | : | bbb | ∷ | ccc | : | ddd y así sucesivamente. |
- Se dice que una expresión es homogénea respecto a dos o más letras cualesquiera, por ejemplo, a, b y c, cuando cada uno de sus términos contiene el mismo número de letras, contando únicamente a, b y c. Así, maab + nabc + rccc es homogénea respecto a a, b y c; y de tercer grado, puesto que en cada término hay ya sea a, b y c, o una de estas repetida sola, o con otra, de modo que hagan tres en total. Así, 8aaabc, 12abccc, maaaaa, naabbc son todas homogéneas y de quinto grado respecto a a, b y c solamente; y cualquier expresión formada sumando o restando estas entre sí será homogénea y de quinto grado. A su vez, ma + mnb es homogénea respecto a a y b, y de primer grado; pero no es homogénea respecto a m y n, aunque sí lo es respecto a a y n. Una vez sentado esto, pasamos a un teorema,3 que contendrá todos los resultados de (184), (185) y (188).
- Si cuatro números cualesquiera son proporcionales, y si de los dos primeros, a y b, se forman dos expresiones homogéneas cualesquiera del mismo grado; y si de los dos últimos se forman otras dos expresiones, de la misma manera exacta, los cuatro resultados serán proporcionales. Por ejemplo, si a: b ∷ c: d, y si se eligen 2aaa + 3aab y bbb + abb, las cuales son ambas homogéneas con respecto a a y b, y ambas del tercer grado; y si se forman las expresiones correspondientes 2ccc + 3ccd y ddd + cdd, las cuales se hacen a partir de c y d exactamente de la misma manera que las dos primeras a partir de a y b, entonces se cumplirá que
2aaa + 3aab : bbb + abb ∷ 2ccc + 3ccd : ddd + cdd
| Para demostrar esto, que | a | llamarse x . | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| b | ||||||
| Entonces, puesto que | a | = x , y | a | = | c | , |
| b | b | d | ||||
| se deduce que | c | = x . | ||||
| d |
Pero puesto que a dividido por b da x, x multiplicado por b dará a, o a = bx. Por una razón similar, c = dx.
Póngase bx y dx en lugar de a y c en las cuatro expresiones recién dadas, recordándose que cuando las cantidades se multiplican entre sí, el resultado es el mismo sea cual sea el orden en que se hagan las multiplicaciones; que, por ejemplo, bxbxbx es lo mismo que bbbxxx.
Por lo tanto, 2aaa + 3aab = 2bxbxbx + 3bxbxb
= 2bbbxxx + 3bbbxx which is bbb multiplied by 2xxx + 3xx or bbb (2xxx + 3xx)4