Entonces mₙ también representa el número de maneras en que m + 1 números pueden juntarse para sumar n + 1.
Lo que probamos arriba es que 6₁₁ es el número de maneras en que podemos juntar 7 números para sumar 12. No habrá ahora ninguna dificultad en probar lo siguiente:
2ⁿ = 1 + 1ₙ + 2ₙ + 3ₙ ... + nₙ
En la pregunta anterior, el 0 no entró en la lista de números utilizados. Por lo tanto, 3 + 1 + 0 + 0 no se consideró como una de las formas de sumar cuatro números para obtener 5.
Pero preguntémonos ahora: ¿cuál es el número de formas de sumar 7 números para obtener 12, permitiendo que el 0 esté en la lista de números? No puede haber más (ni menos) formas de hacer esto que las de sumar 7 números, entre los cuales el 0 no está incluido, para obtener 19.
Tómese cada forma de obtener 12 (incluido el 0), y súmese 1 a cada número, y obtendremos una forma de obtener 19 (sin incluir el 0). Tómese cualquier forma de obtener 19 (sin incluir el 0), y restírese 1 a cada número, y tendremos una de las formas de obtener 12 (incluido el 0).
En consecuencia, 6₁₈ es el número de formas de sumar 7 números (permitiendo el 0) para obtener 12. Y (m- 1)ₙ₊ₘ₋₁ es el número de formas de sumar m números para obtener n, estando incluido el 0.
Esto último equivale a la solución de lo siguiente: ¿De cuántas maneras se pueden distribuir n fichas (indistinguibles entre sí) en m cajas? Y lo siguiente se demostrará ahora fácilmente: El número de maneras de distribuir c fichas indistinguibles en b cajas es (b - 1)b + c - 1, si se permite que una o más cajas queden vacías. Pero si debe haber al menos 1 en cada caja, el número de maneras es (b - 1)c - 1; si debe haber al menos 2 en cada caja, es (b - 1)c- b-1; si debe haber al menos 3 en cada caja, es (b - 1)c - 2b - 1; y así sucesivamente.
El número de maneras en que m números impares pueden sumarse para dar n es el mismo que el número de maneras en que m números pares (incluido el 0) pueden sumarse para dar n-m; y este es el número de maneras en que m números (impares o pares, incluido el 0) pueden sumarse para dar ½(n-m).
En consecuencia, el número de maneras en que m números impares pueden sumarse para dar n es el mismo que el número de combinaciones de m-1 elementos tomados de entre ½(n-m) + m-1, o ½(n + m)-1. A menos que n y m sean ambos pares o ambos impares, el problema es evidentemente imposible.
Existen relaciones curiosas y útiles entre los números de combinaciones, algunas de las cuales pueden mostrarse fácilmente bajo la simple expresión de mₙ para representar el número de formas en que se pueden extraer m cosas de n.
Supongamos que tenemos que extraer 5 de 12: que las 12 cosas estén marcadas como a, b, c, etc., y apartemos una de ellas, a. Cada colección de 5 de las 12 incluye o no incluye a la a.
- El número de la última clase debe ser 5₁₁;
- el número de la primera clase debe ser 4₁₁, ya que es el número de formas en que se pueden elegir las otras cuatro de entre todas excepto a.
En consecuencia, 5₁₂ debe ser 5₁₁ + 4₁₁, y así demostramos en cada caso que mₙ = mₙ₋₁ + (m - 1)ₙ₋₁