- Todo número o fracción es una parte múltiple de cualquier otro número o fracción. Si, por ejemplo, preguntamos qué parte es 12 de 7, vemos que, al dividir 7 en 7 partes, y repetir una de estas partes 12 veces, obtenemos 12; o, al dividir 7 en 14 partes, cada una de las cuales es un medio, y repetir una de estas partes 24 veces, obtenemos 24 mitades, o 12. De ahí que 12 sea ¹²/₇, o ²⁴/₁₄, o ³⁶/₂₁ de 7; y así sucesivamente. En general, cuando a y b son dos números enteros, a/b expresa la parte múltiple que a es de b, y b/a la que b es de a.
Supongamos, además, que se requiere determinar qué parte múltiple es (2⅐) de (3⅕), o de ¹⁵/₇ de ¹⁶/₅. Estas fracciones, reducidas a un denominador común, son ⁷⁵/₃₅ y ¹¹²/₃₅, de las cuales la segunda, dividida en 112 partes, da ¹/₃₅, el cual, repetido 75 veces, da ⁷⁵/₃₅, la primera. De esto se deduce que la parte múltiple que la primera es de la segunda es ⁷⁵/₁₁₂, lo cual, al obtenerse mediante la regla dada en (121), muestra que a/b, o a dividido por b, según la noción de división allí dada, expresa en todos los casos la parte múltiple que a es de b.
- Cuando el primero de cuatro números es la misma parte alícuota o múltiple del segundo que el tercero lo es del cuarto, se dice que los cuatro son geométricamente2 proporcionales, o simplemente proporcionales. Esta es una palabra de uso común; y queda por demostrar que nuestra definición matemática de la misma, recién dada, es, de hecho, la noción común que se le atribuye. Por ejemplo, supóngase que se copia un cuadro a una escala menor, de modo que una línea de dos pulgadas de largo en el original está representada por una línea de una pulgada y media en la copia; decimos que la copia no es correcta a menos que todas las partes del original se reduzcan en la misma proporción, a saber, la de 2 a (1½). Dado que, al dividir dos pulgadas en 4 partes y tomar 3 de ellas, obtenemos (1½), lo mismo