- Cuando se mencionan dos números en un problema, por lo general es necesario, de una manera u otra, comparar ambos; es decir, considerando los dos en conjunto, establecer entre ellos alguna conexión que pueda ser útil en operaciones futuras. El primer método que surge, y el más sencillo, es observar cuál es el mayor y en cuánto se diferencia del otro.
La conexión así establecida entre dos números puede cumplirse también respecto a otros dos números; por ejemplo, 8 difiere de 19 en 11, y 100 difiere de 111 en el mismo número. Desde este punto de vista, el 8 se halla respecto al 19 en la misma situación en que el 100 se halla respecto al 111, difiriendo el primero de ambos pares en el mismo grado respecto al segundo. Los cuatro números así señalados, a saber:
8, 19, 100, 111, se dice que están en proporción1 aritmética.
Cuando cuatro números se disponen de este modo, el primero y el último se denominan extremos, y el segundo y el tercero, medios.
Es evidente que 111 + 8 = 100 + 19, es decir, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios. Y esto no es accidental, derivado de los números particulares que hemos tomado, sino que debe cumplirse en toda proporción aritmética; pues en 111 + 8, según (35), cualquier disminución de 111 no afectará a la suma, siempre que se dé un aumento correspondiente a 8; y, según la definición que acabamos de dar, un medio es tanto menor que 111 como el otro es mayor que 8.
- Se dice que un conjunto o serie de números está en proporción aritmética continua, o en progresión aritmética, cuando la diferencia entre cada dos términos sucesivos de la serie es la misma. Este es el caso en la siguiente serie:
| 1, | 2, | 3, | 4, | 5, | &c. |
|---|---|---|---|---|---|
| 3, | 6, | 9, | 12, | 15, | &c. |
| 1½, | 2, | 2½, | 3, | 3½, | &c. |
La diferencia entre dos términos sucesivos se llama diferencia común. En las tres series que acabamos de dar, las diferencias comunes son 1, 3 y ½.
- Si se toma un cierto número de términos de cualquier progresión aritmética, la suma del primer y el último término es la misma que la de cualquier otros dos términos, siempre que uno esté tan distante del principio de la progresión como el otro del final. Por ejemplo, sean 7 términos y que sean a b c d e f g.
Luego, puesto que, por la naturaleza de la serie, b está tan por encima de a como f está por debajo de g (170), a + g = b + f. Asimismo, puesto que c está tan por encima de b como e está por debajo de f (170), b + f = c + e. Pero a + g = b + f; por lo tanto, a + g = c + e, y así sucesivamente.