3200 es 32 × 100, o cien veces mayor que 32. Nuevamente, 32 × 13000 es 32 × 13, con tres ceros añadidos, es decir, 416, con tres ceros añadidos, o 416000. Pero el producto requerido debe ser 100 veces mayor que este, o debe tener dos ceros añadidos. Por lo tanto, es 41600000, teniendo tantos ceros como los que hay en el multiplicador y en el multiplicando
- Cuando un número se multiplica por sí mismo un número cualquiera de veces, el resultado se llama potencia de ese número. Así:
| 6 se llama el | primer poder | de 6 |
|---|---|---|
| 6 × 6 | segunda potencia | de 6 |
| 6 × 6 × 6 | tercera potencia | de 6 |
| 6 × 6 × 6 × 6 | cuarta potencia | de 6 |
| &c. | &c. |
La segunda y la tercera potencias suelen llamarse cuadrado y cubo, que son nombres incorrectos, derivados de ciertas conexiones de la segunda y la tercera potencia con el cuadrado y el cubo en la geometría. Como ejercicios de multiplicación, deben hallarse las siguientes potencias.
| Número propuesto. | Cuadrado. | Cubo. |
|---|---|---|
| 972 | 944784 | 918330048 |
| 1008 | 1016064 | 1024192512 |
| 3142 | 9872164 | 31018339288 |
| 3163 | 10004569 | 31644451747 |
| 5555 | 30858025 | 171416328875 |
| 6789 | 46090521 | 312908547069 |
| El quinto | la potencia de 36 es | 60466176 |
| cuarto | 50 | 6.250.000 |
| cuarto | 108 | 136048896 |
| cuarto | 277 | 5887339441 |
- Se requiere multiplicar a + b por c + d, es decir, tomar a + b tantas veces como unidades hay en c + d. Según (53), a + b debe tomarse c veces, y d veces, o el producto requerido es (a + b)c + (a + b)d. Pero según (52), (a + b)c es ac + bc, y (a + b)d es ad + bd; de donde el producto requerido es ac + bc + ad + bd; o, (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.
Por razonamiento similar (a - b)(c + d) es (a - b)c + (a - b)d; o,
(a - b)(c + d) = ac - bc + ad - bd.
Para multiplicar a-b por c-d, primero tómese a-b c veces, lo que da ac-bc. Esto no es correcto; pues al tomarlo c veces en lugar de c-d veces, lo hemos tomado d veces de más; o hemos hecho un resultado que es (a-b)d demasiado grande. El resultado real es por lo tanto ac-bc-(a -b)d. Pero (a-b)d es ad- bd, y por lo tanto (a - b)(c - d) = ac - bc - ad - bd
= ac - bc - ad + bd (41)