Así, 1 + 5 + 3 + 3 da 12, formado a partir de 1 + 5 + 3 + 1 que da 10. Pero 1 + 9 + 1 + 1 se forma a partir de 1 + 9 + 1 que da 11. En consecuencia, el número de maneras de componer 12 es la suma del número de maneras de componer 10 y de componer 11. Ahora bien, 1 solo puede componerse de 1 manera, y 2 solo puede componerse de 1 manera; por lo tanto, 3 solo puede componerse de 1 + 1 u 2 maneras, 4 solo de 1 + 2 o 3 maneras. Si tomamos la serie 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc., en la cual cada número es la suma de los dos precedentes, entonces el n-ésimo número de este conjunto es el número de maneras (contando el orden) en que n puede componerse de números impares. Así, 10 puede componerse de 55 maneras, 11 de 89 maneras, etc.
Demostrar que el número de formas en que se puede formar mk con números divisibles por m (contando el orden) es 2ᵏ⁻¹.
En las dos series, 1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28, etc.
0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5, etc., la primera tiene cada término nuevo posterior al tercero igual a la suma del último y el antepenúltimo; la segunda tiene cada término nuevo posterior al tercero igual a la suma del penúltimo y el antepenúltimo. Demuéstrese que el enésimo número en la primera es el número de formas en que se puede componer