Elijo por tanto 5, lo cual concluye el proceso, ya que 5 × 5, junto con 2 × 5 multiplicado por 20 + 20, da exactamente 425. La raíz cuadrada de 2025 es por lo tanto 20 + 20 + 5, o 45, lo cual se comprobará, mediante tanteo, que es correcto; ya que 45 × 45 = 2025.
Nuevamente, pregunto si 13340 tiene o no una raíz cuadrada. Sea 100 la primera parte, cuyo cuadrado es 10000, y el primer resto es 3340. Sea 10 la segunda parte. Aquí 10 × 10 + 2 × 10 × 100 es 2100, y el segundo resto, o 3340-2100, es 1240. Sea 5 la tercera parte; entonces 5 × 5 + 2 × 5 × (100 + 10) es 1125, lo cual, restado de 1240, deja 115. No hay, por lo tanto, ninguna raíz cuadrada; pues una sola unidad adicional dará una sustracción de 1 × 1 + 2 × 1 × (100 + 10 + 5), o 231, que es mayor que 115.
Pero si el número propuesto hubiera sido menor en 115, cada uno de los restos habría sido menor en 115, y el último resto habría sido cero. Por lo tanto, 13340-115, o 13225, tiene la raíz cuadrada 100 + 10 + 5, o 115; y la respuesta es que 13340 no tiene raíz cuadrada, y que 13225 es el número inmediatamente inferior que la tiene, a saber, 115.
- Solo falta dar a la regla una forma que nos guíe hacia aquellas partes que sea más conveniente elegir. Es evidente (57) que cualquier número que termina en ceros, como 4000, tiene el doble de ceros en su cuadrado. Así, 4000 × 4000 = 16000000; por lo tanto, cualquier número cuadrado,2 como 49, con un número par de ceros añadidos, como 490000, es un número cuadrado.
La raíz3 de 490000 es 700. Dicho esto, tómese cualquier número, por ejemplo, 76176; empezando desde la derecha hacia la izquierda, sepárense dos cifras; luego otras dos, y así sucesivamente, hasta que queden solo una o dos cifras: así, 7,61,76. Este número es mayor que 7,00,00, de el cual la primera cifra no es un número cuadrado, siendo el cuadrado más próximo por debajo el 4. De ahí que 4,00,00 sea
el número cuadrado más cercano por debajo de 7,00,00, que tiene cuatro cifras, y su raíz cuadrada es 200. Sea esta la primera parte elegida: su cuadrado restado de 76176 deja 36176, el primer resto; y es evidente que hemos obtenido el mayor número de la mayor denominación que se ha de hallar en la raíz cuadrada de 76176; pues 300 es demasiado grande, ya que su cuadrado, 9,00,00, es mayor que 76176: y cualquier denominación superior a las centenas tiene un cuadrado aún mayor. Queda, pues, por elegir una segunda parte, como en los ejemplos de (160), con el resto 36176. Esta parte no puede ser tan grande como 100, por lo que acaba de decirse; su denominación más alta es, por tanto, un número de decenas. Sea N un número de decenas, que es uno de los números simples 1, 2, 3, etc.; es decir, sea la nueva parte 10N, cuyo cuadrado es 10N × 10N, o 100NN, y cuyo duplo multiplicado por la parte anterior es 20N × 200, o 4000N; ambos juntos son 4000N + 100NN. Ahora bien, N debe tomarse de modo que esto no sea mayor que 36176: y con más razón 4000N no debe ser mayor que 36176. Podemos probar, por tanto, para N, el número de veces que 36176 contiene a 4000, o el que 36 contiene a 4. La observación de (80) se aplica aquí. Probemos con 9 decenas o 90. Entonces, 2 × 90 × 200 + 90 × 90, o 44100, ha de restarse, lo cual es demasiado grande, puesto que el resto total es 36176. Probamos luego con 8 decenas u 80, lo que da 2 × 80 × 200 + 80 × 80, o 38400, que asimismo es demasiado grande. Al probar con 7 decenas, o 70, hallamos 2 × 70 × 200 + 70 × 70, o 32900, que restado de 36176 da 3276, el segundo resto.
El resto de la raíz cuadrada solo pueden ser unidades. Como antes, sea N este número de unidades. Entonces, siendo la suma de las partes precedentes 200 + 70, o 270, el número que debe restarse es 270 × 2N + NN, o