Como se emplean 7 cifras, parece que 30000000 es el primero de la serie 30, 300, etc., que es divisible por 128; y por lo tanto ³/₁₂₈ o, lo que es lo mismo (108), ³⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰/₁₂₈₀₀₀₀₀₀₀ es igual a ²³⁴³⁷⁵/₁₀₀₀₀₀₀₀ o ·0234375 (135).
De estos ejemplos, la regla para reducir una fracción a decimal es:
Añádanse ceros al numerador; divídase por el denominador y añádase un cero a cada residuo después de haber usado todas las cifras del numerador, procediendo exactamente como si el numerador tuviera un número ilimitado de ceros añadidos y fuera a ser dividido por el denominador.
Continúe este proceso hasta que no quede residuo y observe cuántos ceros se han utilizado. Coloque el punto decimal en el cociente de modo que separe tantas cifras como ceros haya utilizado; y si no hubiera cifras suficientes para esto, añada ceros al principio hasta que haya suficientes lugares.
- Por lo que se demostró en (129), resulta que no toda fracción puede reducirse a una fracción decimal. Sin embargo, allí se demostró que no hay fracción a la que no podamos encontrar una fracción decimal tan próxima como queramos. Así, ¹/₁₀, ¹⁴/₁₀₀, ¹⁴²/₁₀₀₀, ¹⁴²⁸/₁₀₀₀₀, ¹⁴²⁸⁵/₁₀₀₀₀₀, etc., o ·1, ·14, ·142, ·1428, ·14285, se demostró que son fracciones que se aproximan cada vez más a ¹/₇. Para hallar cualquiera de estas fracciones, la regla es la misma que la del artículo anterior, con esta excepción:
I. en lugar de detenerse cuando no hay resto, lo cual nunca sucede, deténgase en cualquier parte del proceso y cree tantas cifras decimales en el cociente como sea el número de ceros que se hayan utilizado, añadiendo ceros al principio cuando esto no pueda hacerse, como antes.
II. En lugar de obtener una fracción que sea exactamente igual a la fracción de la que partimos, obtenemos una fracción que está muy próxima a ella, y podemos obtener otra todavía más próxima utilizando una mayor parte del cociente. Así, ·1428 está muy próximo a ¹/₇, pero no tan próximo como ·142857; ni este último, a su vez, está tan próximo como ·142857142857, etc.
- Si hubiere ceros en el numerador de una fracción, estos no deben contarse junto con el número de ceros que son necesarios para seguir la regla de convertirla en una fracción decimal. Tomemos, por ejemplo, ¹⁰⁰/₁₂₅; añádanse ceros al numerador y divídase por el denominador. Resulta que 1000 es divisible por 125, y que el cociente es 8. Solo se ha añadido un cero al numerador y, por tanto, 100 dividido por 125 es ·8. Si la fracción hubiese sido ¹/₁₂₅, dado que 1000 dividido por 125 da 8, y se habrían añadido tres ceros al numerador, la fracción habría sido ·008.
- Supongamos que la fracción dada tiene ceros a la derecha de su denominador; por ejemplo, ³¹/₂₅₀₀. Entonces, añadir un cero al numerador equivale a quitar uno al denominador; pues, según (108), ³¹⁰/₂₅₀₀ es lo mismo que ³¹/₂₅₀, y ³¹⁰/₂₅₀ que ³¹/₂₅. La regla, por lo tanto, en este caso es: Quitar los ceros del denominador.