| a | = | v |
|---|---|---|
| b | w |
sea uno de los pasos,
y sean a = kv + x, b = kw + y; de modo que
| kv + x | = | v |
|---|---|---|
| kw + y | w |
Ahora bien, si x = 0 pero no y, esto es absurdo, pues da
| kv | = | kv | . |
|---|---|---|---|
| kw + y | kw |
Una absurdidad similar se sigue si y es 0, pero no x; y si tanto x como y son = 0, entonces a = kv, b = kw, o a y b tienen una medida común, k.
Ahora bien, k debe ser mayor que 1, pues v y w son menores que c y d, que por hipótesis son menores que a y b. En consecuencia, a y b tienen una medida común k mayor que 1, la cual por hipótesis no tienen.
Si, por tanto, a y b son enteros no divisibles por ningún entero mayor que 1, la fracción a/b está realmente en su mínima expresión. Asimismo, se dice que a y b son primos entre sí.
Prop. 2. Si el producto ab es divisible por c, y si c es primo con b, debe dividir a a. Sea
| ab | = d , then | b | = | d | . |
|---|---|---|---|---|---|
| c | c | c |
Ahora b/c está en sus términos más bajos; por tanto, por la última proposición, d y a deben tener una medida común. Sea k la mayor medida común, y sean a = kl, d = km. Entonces
| b | = | km | = | m | , y | m |
|---|---|---|---|---|---|---|
| c | kl | l | l |
también está en su mínima expresión; pero también lo está b