Asimismo, si a es mayor que m veces b , el cuadrado de a es mayor que mm veces el cuadrado de b . Así, si a = 2 b + c , donde a es mayor que 2 b , el cuadrado de a , o aa , que es (68) 4 bb + 4 bc + cc es mayor que 4 bb , y así sucesivamente.
- Las potencias de una fracción menor que la unidad disminuyen continuamente; así, el cuadrado de ⅖, o ⅖ × ⅖, es menor que ⅖, siendo solo dos quintas partes de esta.
Esta disminución continúa sin límite; es decir, no hay cantidad tan pequeña que alguna potencia de ⅖ no sea menor. Pues si
| 5 | = | x , | |
|---|---|---|---|
| 2 | |||
| 2 | = | 1 | , |
| 5 | x |
| y las potencias de ⅖ son | 1 | , | 1 | , |
|---|---|---|---|---|
| xx | xxx |
y así sucesivamente. Puesto que x es mayor que 1 (195), se puede hallar alguna potencia de x que sea mayor que una cantidad dada. Llámese a esto m; entonces 1/m es la potencia correspondiente de ⅖; y una fracción cuyo denominador puede hacerse tan grande como queramos, puede a su vez hacerse tan pequeña como queramos (112).
- Tenemos, pues, en la serie
1 r rr rrr rrrr &c.
I. Una serie de términos crecientes, si r es mayor que 1. II. De términos que tienen el mismo valor, si r es igual a 1. III. Una serie de términos decrecientes, si r es menor que 1.
En los primeros dos casos, la suma
1 + r + rr + rrr + &c.
puede evidentemente hacerse tan grande como queramos, aumentando suficientemente el número de términos. Pero en el tercero esto puede ser o no ser el caso; pues aunque se añade algo en cada paso, sin embargo, como ese aumento disminuye en cada paso, no podemos afirmar con certeza que podamos, mediante cualquier número de tales aumentos, hacer que el resultado sea tan grande como queramos. Para mostrar lo contrario en un ejemplo sencillo, consideremos la serie,
1 + ½ + ¼ + ⅛ + ¹/₁₆ + &c.
Llévese esta serie hasta el punto que se quiera, siempre será necesario añadir el último término para llegar a sumar 2. Así,
(1 + ½ + ¼) + ¼ = 1 + ½ + ½ = 1 + 1 = 2
(1 + ½ + ¼ + ⅛) + ⅛ = 2.
(1 + ½ + ¼ + ⅛ + ¹/₁₆) + ¹/₁₆ = 2, &c.