- Conociendo la suma, el número de términos y el primer término, podemos hallar a partir de ahí la diferencia común. Supongamos, por ejemplo, que el primer término de una serie es uno, el número de términos 100, y la suma 10.000. Puesto que 10.000 se obtuvo multiplicando la suma del primer y el último término por ¹⁰⁰/₂, si dividimos por esto, recuperaremos la suma del primer y el último término. Ahora bien, ¹⁰,⁰⁰⁰/₁ dividido por ¹⁰⁰/₂ es (122) 200, y siendo el primer término 1, el último término es 199. Tenemos entonces que pasar de 1 a 199, o a través de 198, en 99 pasos iguales. Cada paso es, por lo tanto, ¹⁹⁸/⁹⁹, o 2, que es la diferencia común; o la serie es 1, 3, 5, etc., hasta 199.
| Dado. | Encontrar. | |||
|---|---|---|---|---|
| Suma. | N.º de términos. | Primer trimestre. | Último trimestre. | Diferencia común. |
| 1809025 | 1345 | 1 | 2689 | 2 |
| 44 | 10 | 3 | 29 | 14 |
| 5 | 45 | |||
| 7075600 | 1330 | 4 | 10636 | 8 |
- Volvemos ahora a (170), en el que comparamos dos números entre sí por su diferencia. Este, sin embargo, no es el método de comparación que empleamos en la vida ordinaria, como lo demostrará cualquier ejemplo cotidiano simple. Por ejemplo, decimos de A, que tiene 10 mil libras, que es mucho más rico que B, que solo tiene 3 mil; pero no decimos que C, que tiene 107 mil libras, sea mucho más rico que D, que tiene 100 mil, aunque la diferencia de fortuna sea la misma en ambos casos, es decir, 7 mil libras. Al comparar números tomamos en consideración no solo las diferencias, sino los números mismos. Así, si B y D recibieran ambos 7 mil libras, B recibiría 233 libras y un tercio por cada 100 libras que tenía antes, mientras que D por cada 100 libras recibiría solo 7 libras.
Y aunque, desde la perspectiva adoptada en (170), el 3 está tan cerca del 10 como el 100 del 107, sin embargo, bajo la luz en que ahora los consideramos, el 3 no está tan cerca del 10 como el 100 del 107, pues el 3 difiere del 10 en más del doble de sí mismo, mientras que el 100 no difiere del 107 en tanto como la quinta parte de sí mismo. Esto se expresa en lenguaje matemático diciendo que la razón o proporción de 10 a 3 es mayor que la razón o proporción de 107 a 100. Pasamos a definir estos términos con mayor precisión.
- Cuando en lo sucesivo de esta sección empleemos el término parte de un número o fracción, entenderemos uno de los diversos conjuntos de partes iguales en que puede dividirse, ya sea la mitad, el tercio, el cuarto, etc.; el término múltiplo ya ha sido explicado (102).
Por el término parte múltiple de un número entendemos la abreviatura de las palabras múltiplo de una parte. Así, 1, 2, 3, 4 y 6 son partes de 12; ½ es también una parte de 12, ya que está contenido en él 24 veces; 12, 24, 36, etc., son múltiplos de 12; y 8, 9, ⁵/₂, etc., son partes múltiples de 12, por ser múltiplos de algunas de sus partes.
Y cuando se habla de partes múltiples en general, se supone que las partes mismas están incluidas, bajo el mismo principio de que el 12 se cuenta entre los múltiplos de 12, siendo el multiplicador 1. Los múltiplos mismos también se incluyen en este término; pues 24 son también 48 mitades, y por lo tanto se encuentra entre las partes múltiples de 12. Cada parte es también, de varias maneras, una parte múltiple; pues un cuarto son dos octavos, y tres doceavos, etc.