- Las cantidades iguales seguirán siendo iguales cuando hayan sido aumentadas, disminuidas, multiplicadas o divididas por cantidades iguales.
Esto equivale a decir que si
- a = b y p = q,
- a + p = b + q,
- a - p = b - q,
- ap = bq,
- a b
- y — = —.
- p q
También es evidente que a + p-p, a -p + p, ap/p y a/p × p son todos iguales a a.
- El producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Sean a/b = c/d, y multiplíquense estos números iguales por el producto bd. Entonces,
| a | × bd = | abd | (116) = ad , |
|---|---|---|---|
| b | b |
| y | c | × bd = | cbd | = cb : |
|---|---|---|---|---|
| d | d | |||
| por tanto (180), $ad = bc$ . |
Por tanto, 6, 8, 21 y 28 son proporcionales, ya que
| 6 | = | 3 | = | 3 × 7 | = | 21 | (180); |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 4 | 4 × 7 | 28 |
y parece que 6 × 28 = 8 × 21, dado que ambos productos son 168.
- Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, estos números son proporcionales en cualquier orden que sea, con tal de que los números de un mismo producto estén colocados de modo que sean términos semejantes; esto es, si ab = pq, tenemos las proporciones siguientes:—
- a : p ∷ q : b
- a : q ∷ p : b
- b : p ∷ q : a
- b : q ∷ p : a
- p : a ∷ b : q
- p : b ∷ a : q
- q : a ∷ b : p
- q : b ∷ a : p
Para probar cualquiera de estas, divida tanto ab como pq por el producto de su segundo y cuarto términos; por ejemplo, para mostrar la verdad de a: q ∷ p: b, divida tanto ab como pq por bq. Entonces,