He aquí, pues, dos números, el primero de los cuales multiplicado por cualquier número menor que 59, y el segundo por cualquier número menor que 61, pueden dar productos formados al trasladar ciertas cifras de un extremo al otro.
Pero, siendo b aún primo, puede ocurrir que el resto 1 aparezca antes de que se obtengan b - 1 cifras; en cuyo caso, como se ha demostrado, el número de cifras debe ser un divisor de b - 1. Por ejemplo, tómese ¹/₄₁. El cociente periódico, escrito como arriba, tiene solo 5 cifras, y 5 divide a 41 - 1.
0₁₀2₁₈4₁₆3₃₇9₁
Ahora bien, se descubrirá que este período tiene sus cifras simplemente transpuestas si multiplicamos por 10, 18, 16 o 37. Pero si multiplicamos por cualquier otro número menor que 41, convertimos este período en el período de otra fracción cuyo denominador es 41.
Los siguientes son 8 períodos que se pueden encontrar.
| 0₁₀2₁₈4₁₆3₃₇9₁ | 1₉2₈1₃₉9₂₁5₅ |
|---|---|
| 0₂₀4₃₆8₃₂7₃₃8₂ | 1₁₉4₂₆6₁₄3₁₇4₆ |
| 0₃₀7₁₃3₇1₂₉7₃ | 2₂₈6₃₄8₁₂2₃₈9₁₁ |
| 0₄₀9₈₁7₂₃5₂₅6₄ | 3₂₇6₂₄5₃₅8₂₂5₁₅ |
Para hallar m/41, busque m entre los residuos, y tome el período en el que se encuentra, empezando después del residuo. Así, ³⁴/₄₁ es ·8292682926, etc., y ¹⁵/₄₁ es ·3658536585, etc.
Estos períodos son complementarios, de cuatro en cuatro, como 02439 y 97560, 07317 y 92682, etc. Y si el primer número, 02439, se multiplica por cualquier número menor que 41, busque ese número entre los residuos, y el producto se encuentra en el período de dicho residuo empezando después del residuo. Así, 02439 multiplicado por 23 da 56097, y por 6 da 14634.
El lector puede intentar descifrar por sí mismo cómo es que, con no más cifras que las siguientes, podemos extender el resultado de nuestra división.
La fracción de la cual hay que hallar el período es ¹/₈₇.
- 87)100(01149425
- 130
- 430
- 82001149425 × 25
- 37028735625 × 25
- 5517959765625
- 46017959765625 × 25
- 25448994140625
- 0114942528735625
- 718390625
- 1795976 5625
- 448994
- 0114942528735632183908045977|011494
- |