| mx + nx |
|---|
| m + n |
o que x; y si y es el mayor de los dos, es ciertamente menor que
| my + ny |
|---|
| m + n |
o que y. Por lo tanto, se encuentra entre x e y.
Ahora sea a/b igual a x, y sea c/d igual a y:
entonces a = bx, c = dy. Ahora
| bx + dy |
|---|
| b + d |
es algo entre x e y, como se acaba de demostrar; por tanto
| a + c |
|---|
| b + d |
es algo entre a/b y c/d. De nuevo, puesto que a/b y c/d son respectivamente iguales a ap/bp y cq/dq, y dado que, como acaba de demostrarse,
| ap + cq |
|---|
| bp + dq |
se encuentra entre los dos últimos, también se encuentra entre los dos primeros; esto es, si p y q son cualesquiera números o fracciones,
| ap + cq |
|---|
| bp + dq |
se encuentra entre a/b y c/d.
- Por el artículo anterior podemos formarnos a menudo una idea del valor de una expresión demasiado complicada para ser calculada fácilmente. Así,
| 1 + x | se encuentra entre | 1 | y | x | , o 1 y | 1 | ; |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 + xx | 1 | xx | x | ||||
| ax + by | se encuentra entre | hacha | y | por | , | ||
| axx + bbyy | axx | bbyy |
esto es, entre 1/x y 1/by. Y se ha demostrado que (a + b)/2 se encuentra entre a y b, considerándose el denominador como 1 + 1.
- También puede demostrarse que una fracción como
| a + b + c + d |
|---|
| p + q + r + s |